Calcula los extremos absolutos de f(x, y) = (x+1)2+(y−1)2 sobre el semićırculo {x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0}.

Para encontrar os extremos absolutos da função f(x, y) = (x+1)² + (y-1)² sobre o semicírculo {x² + y² ≤ 4, x ≥ 0}, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do domínio dado. Para isso, precisamos encontrar os pontos onde o gradiente de f(x, y) é igual a zero. Calculando o gradiente de f(x, y): ∇f(x, y) = (2(x+1), 2(y-1)) Agora, vamos impor a restrição do semicírculo: g(x, y) = x² + y² - 4 Calculando o gradiente de g(x, y): ∇g(x, y) = (2x, 2y) Agora, vamos resolver o sistema de equações dado pelos multiplicadores de Lagrange: ∇f(x, y) = λ∇g(x, y) 2(x+1) = λ(2x) 2(y-1) = λ(2y) x² + y² - 4 = 0 x ≥ 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos os pontos críticos (x, y): (x, y) = (0, 2), (0, -2) Agora, vamos avaliar a função f(x, y) nos pontos críticos e nos pontos de fronteira do semicírculo para encontrar os extremos absolutos. Avaliando f(x, y) nos pontos críticos: f(0, 2) = (0+1)² + (2-1)² = 2 f(0, -2) = (0+1)² + (-2-1)² = 10 Avaliando f(x, y) nos pontos de fronteira do semicírculo: f(0, 0) = (0+1)² + (0-1)² = 2 f(2, 0) = (2+1)² + (0-1)² = 10 Portanto, o mínimo absoluto ocorre em (0, 2) com o valor de 2, e o máximo absoluto ocorre em (0, -2) com o valor de 10.