Calcula los extremos absolutos de f(x, y) = (x+1)2 + (y − 1)2 en el ćırculo x2 + y2 ≤ 4.

Para encontrar os extremos absolutos da função f(x, y) = (x+1)² + (y-1)² no círculo x² + y² ≤ 4, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, vamos calcular os pontos críticos da função no interior do círculo. Para isso, precisamos encontrar os valores de x e y que tornam as derivadas parciais de f(x, y) iguais a zero: ∂f/∂x = 2(x+1) = 0 ∂f/∂y = 2(y-1) = 0 Resolvendo essas equações, encontramos o ponto crítico (-1, 1). Agora, vamos verificar os pontos críticos na fronteira do círculo. Para isso, podemos parametrizar a circunferência x² + y² = 4 como: x = 2cos(t) y = 2sin(t) Substituindo essas expressões na função f(x, y), obtemos: g(t) = f(2cos(t), 2sin(t)) = (2cos(t) + 1)² + (2sin(t) - 1)² Agora, precisamos encontrar os valores de t que maximizam e minimizam a função g(t) no intervalo [0, 2π]. Para isso, podemos derivar g(t) em relação a t e igualar a zero: dg/dt = -4sin(t)(2cos(t) + 1) + 4cos(t)(2sin(t) - 1) = 0 Resolvendo essa equação, encontramos os valores de t que correspondem aos pontos críticos na fronteira do círculo. Finalmente, comparamos os valores de f(x, y) nos pontos críticos encontrados no interior do círculo e na fronteira para determinar os extremos absolutos da função f(x, y) no círculo x² + y² ≤ 4.