28. En R2, sea D la mitad superior del ćırculo centrado en el origen de radio √ 2, o sea el conjunto de los (x, y) con y ≥ 0 y x2 + y2 ≤ 2. Determ...

Para determinar os extremos absolutos da função f(x, y) = x^2 + y^2 + 2x + 2y na região D, que é a metade superior do círculo centrado na origem de raio √2, devemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar os pontos críticos da função dentro da região D. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a x e y e igualamos a zero: ∂f/∂x = 2x + 2 = 0 ∂f/∂y = 2y + 2 = 0 Resolvendo essas equações, encontramos o ponto crítico (-1, -1). 2. Verificar os pontos de fronteira da região D. Como a região D é definida como os pontos (x, y) com y ≥ 0 e x^2 + y^2 ≤ 2, precisamos encontrar os pontos de interseção entre a curva do círculo e o eixo y. Para x = 0, temos y^2 ≤ 2, o que nos dá y ≤ √2. Portanto, temos o ponto (0, √2) como um ponto de fronteira. 3. Avaliar a função nos pontos críticos e nos pontos de fronteira para determinar os extremos absolutos. Avaliando a função nos pontos críticos: f(-1, -1) = (-1)^2 + (-1)^2 + 2(-1) + 2(-1) = 1 + 1 - 2 - 2 = -2 Avaliando a função no ponto de fronteira: f(0, √2) = (0)^2 + (√2)^2 + 2(0) + 2(√2) = 2 + 2√2 Portanto, o ponto de extremo absoluto mínimo é (-1, -1) com valor -2, e o ponto de extremo absoluto máximo é (0, √2) com valor 2 + 2√2. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.