Encontrar la solución de la ecuación diferencial y′ − 2xy = 2xex2 que verifica y(0) = 3.

Para resolver essa equação diferencial, podemos usar o método da fatoração integrante. Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão: y' - 2xy = 2xex^2 Agora, identificamos o fator integrante, que é dado por: μ(x) = e^(∫(-2x)dx) = e^(-x^2) Multiplicamos ambos os lados da equação pelo fator integrante: e^(-x^2)y' - 2xey = 2x^2e^(x^2) Agora, aplicamos a regra do produto da derivada no lado esquerdo da equação: (d/dx)(e^(-x^2)y) = 2x^2e^(x^2) Integramos ambos os lados em relação a x: ∫(d/dx)(e^(-x^2)y)dx = ∫2x^2e^(x^2)dx e^(-x^2)y = ∫2x^2e^(x^2)dx Agora, podemos resolver a integral do lado direito: e^(-x^2)y = ∫2x^2e^(x^2)dx Fazendo uma substituição u = x^2, temos du = 2xdx: e^(-x^2)y = ∫e^udu e^(-x^2)y = e^u + C Agora, substituímos u de volta para x^2: e^(-x^2)y = e^(x^2) + C Finalmente, isolamos y: y = e^x^2 * (e^C) Agora, podemos usar a condição inicial y(0) = 3 para encontrar o valor de C: 3 = e^0 * (e^C) 3 = 1 * (e^C) e^C = 3 C = ln(3) Portanto, a solução da equação diferencial que satisfaz y(0) = 3 é: y = e^x^2 * (e^ln(3)) y = 3e^x^2