14. Calcula la solución general de la ecuación y′′ − y = 2ex + 4e−x.

A equação diferencial dada é y'' - y = 2ex + 4e-x. Para encontrar a solução geral dessa equação, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontre a solução homogênea: Resolva a equação y'' - y = 0. A solução homogênea é dada por yh = c1e^x + c2e^-x, onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. 2. Encontre uma solução particular: Para encontrar uma solução particular yp, podemos usar o método dos coeficientes a determinar. Suponha que yp seja uma função do mesmo tipo que o termo não homogêneo, ou seja, yp = Ae^x + Be^-x, onde A e B são constantes a serem determinadas. Substituindo yp na equação diferencial, obtemos: (y'' - y) = (2ex + 4e-x) (y'' - y) = 2ex + 4e-x Derivando duas vezes yp, temos: yp'' = Ae^x - Be^-x Substituindo yp e suas derivadas na equação diferencial, obtemos: (Ae^x - Be^-x) - (Ae^x + Be^-x) = 2ex + 4e-x Simplificando a equação, temos: -2Be^-x = 2ex + 4e-x Igualando os termos exponenciais, temos: -2B = 2 B = -1 Substituindo B na equação, temos: -2e^-x = 2ex + 4e-x Dividindo toda a equação por -2, temos: e^-x = -ex - 2e-x Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos: -x = ln(-ex - 2e-x) Resolvendo essa equação para x, obtemos: x ≈ -0.351 Portanto, a solução particular é yp = Ae^x - e^-x. 3. Encontre a solução geral: A solução geral da equação diferencial é dada pela soma da solução homogênea e da solução particular, ou seja, y = yh + yp. Portanto, a solução geral é y = c1e^x + c2e^-x + Ae^x - e^-x, onde c1, c2 e A são constantes arbitrárias. Lembre-se de que esses são apenas os passos gerais para resolver a equação diferencial. É importante verificar se a solução encontrada satisfaz a equação original.