A. Sea X el conjunto de todas funciones de R en R. Dadas x(t), y(t) ∈ X se define la relación: x(t)Ry(t)⇔ ĺım t→0 x(t)− y(t) t2 = 0. Demostrar qu...

Para demonstrar que R é uma relação de equivalência, precisamos mostrar que ela é reflexiva, simétrica e transitiva. 1. Reflexividade: Para mostrar que R é reflexiva, devemos provar que para qualquer função x(t) ∈ X, temos x(t)Rx(t). Podemos observar que, quando t se aproxima de 0, a expressão x(t) - x(t) / t^2 se torna 0/0, que é uma forma indeterminada. No entanto, podemos aplicar a regra de L'Hôpital para calcular o limite dessa expressão. Aplicando a regra de L'Hôpital, temos: lim t→0 (x(t) - x(t)) / t^2 = lim t→0 (x'(t) - x'(t)) / 2t = lim t→0 0 / 2t = 0. Portanto, x(t)Rx(t) e R é reflexiva. 2. Simetria: Para mostrar que R é simétrica, devemos provar que se x(t)Ry(t), então y(t)Rx(t) para todas as funções x(t), y(t) ∈ X. Se x(t)Ry(t), isso significa que lim t→0 (x(t) - y(t)) / t^2 = 0. Podemos reescrever essa expressão como lim t→0 (y(t) - x(t)) / t^2 = 0. Novamente, aplicando a regra de L'Hôpital, temos: lim t→0 (y(t) - x(t)) / t^2 = lim t→0 (y'(t) - x'(t)) / 2t = lim t→0 0 / 2t = 0. Portanto, y(t)Rx(t) e R é simétrica. 3. Transitividade: Para mostrar que R é transitiva, devemos provar que se x(t)Ry(t) e y(t)Rz(t), então x(t)Rz(t) para todas as funções x(t), y(t), z(t) ∈ X. Se x(t)Ry(t), temos lim t→0 (x(t) - y(t)) / t^2 = 0. E se y(t)Rz(t), temos lim t→0 (y(t) - z(t)) / t^2 = 0. Podemos somar essas duas expressões: lim t→0 [(x(t) - y(t)) + (y(t) - z(t))] / t^2 = 0. Simplificando a expressão, temos: lim t→0 (x(t) - z(t)) / t^2 = 0. Portanto, x(t)Rz(t) e R é transitiva. Assim, demonstramos que R é uma relação de equivalência, pois ela é reflexiva, simétrica e transitiva.