Caṕıtulo 2. Relaciones el conjunto cociente E/R. C. Sea X el conjunto de las aplicaciones de R en R. Dadas x, y ∈ X se define la relación xRy ⇔ ∃...

Caṕıtulo 2. Relaciones el conjunto cociente E/R. C. Sea X el conjunto de las aplicaciones de R en R. Dadas x, y ∈ X se define la relación xRy ⇔ ∃c > 0 : x(t) = y(t) para |t| < |c|. Demostrar que R es una relación de equivalencia. Solución. A. Reflexiva. Para todo x(t) ∈ X se verifica: ĺım t→0 x(t)− x(t) t2 = ĺım t→0 0 t2 = ĺım t→0 0 = 0, es decir, x(t)Rx(t). Simétrica. Para todo x(t), y(t) ∈ X se verifica: x(t)Ry(t)⇒ ĺım t→0 x(t)− y(t) t2 = 0⇒ ĺım t→0 y(t)− x(t) t2 = − ĺım t→0 x(t)− y(t) t2 = −0 = 0⇒ y(t)Rx(t). Transitiva. Para todo x(t), y(t), z(t) ∈ X se verifica: { x(t)Ry(t) y(t)Rz(t) ⇒  ĺım t→0 x(t)− y(t) t2 = 0 ĺım t→0 y(t)− z(t) t2 = 0, lo cual implica: ĺım t→0 x(t)− z(t) t2 = ĺım t→0 x(t)− y(t) + y(t)− z(t) t2 = ĺım t→0 x(t)− y(t) t2 + ĺım t→0 y(t)− z(t) t2 = 0 + 0 = 0⇒ x(t)Rz(t). La relación R es por tanto de equivalencia. B. Reflexiva. Para todo (x, y) ∈ E se verifica x = x, en consecuencia (x, y)R(x, y). Simétrica. Para todo (x, y), (z, t) ∈ E : (x, y)R(z, t)⇒ x = z ⇒ z = x⇒ (z, t)R(x, y). Transitiva. Para todo (x, y), (z, t), (u, v) ∈ E :{ (x, y)R(z, t) (z, t)R(u, v) ⇒ { x = z z = u ⇒ x = u⇒ (x, y)R(u, v).