7. En el conjunto Z de los números enteros se define la relación xRy, si y sólo si, existe un número entero no negativo n tal que y − x = 2n. A...

A relação R é uma relação de ordem no conjunto Z dos números inteiros. Para ser uma relação de ordem, ela precisa satisfazer três propriedades: reflexividade, antissimetria e transitividade. 1. Reflexividade: Para todo número inteiro x, xRx. Isso significa que para qualquer número inteiro x, existe um número inteiro não negativo n tal que x - x = 2n. Como qualquer número menos ele mesmo é igual a zero, a relação é reflexiva. 2. Antissimetria: Para todo par de números inteiros x e y, se xRy e yRx, então x = y. Isso significa que se existe um número inteiro não negativo n tal que y - x = 2n e também existe um número inteiro não negativo m tal que x - y = 2m, então x = y. Podemos somar as duas equações para obter (y - x) + (x - y) = 2n + 2m, que simplifica para 0 = 2(n + m). Como n e m são números inteiros não negativos, a única maneira de obter 0 é se n + m = 0, o que implica que n = m = 0. Portanto, x = y e a relação é antissimétrica. 3. Transitividade: Para todo trio de números inteiros x, y e z, se xRy e yRz, então xRz. Isso significa que se existe um número inteiro não negativo n tal que y - x = 2n e também existe um número inteiro não negativo m tal que z - y = 2m, então existe um número inteiro não negativo p tal que z - x = 2p. Podemos somar as duas equações para obter (y - x) + (z - y) = 2n + 2m, que simplifica para z - x = 2(n + m). Como n + m é um número inteiro não negativo, a relação é transitiva. Portanto, a relação R é uma relação de ordem no conjunto Z dos números inteiros.