2. En Z, se define la relación: xRy ⇔ x = yn para algún n entero positivo. Demostrar que es relación de orden. ¿Es buen orden?

Para demostrar que una relación es de orden, debemos verificar tres propiedades: reflexividad, antisimetría y transitividad. 1. Reflexividad: Para demostrar que la relación es reflexiva, debemos mostrar que para todo elemento x en Z, xRx se cumple. En este caso, si tomamos n = 1, tenemos que x = x^1, lo cual es cierto para cualquier número entero x. Por lo tanto, la relación es reflexiva. 2. Antisimetría: Para demostrar que la relación es antisimétrica, debemos demostrar que si xRy y yRx, entonces x = y. Supongamos que xRy, lo cual implica que x = y^n para algún entero positivo n. Si también tenemos yRx, entonces y = x^m para algún entero positivo m. Igualando las dos expresiones, tenemos que x = (x^m)^n = x^(mn). Esto implica que x = 1 si mn = 1, es decir, si m = n = 1. Por lo tanto, la relación es antisimétrica. 3. Transitividad: Para demostrar que la relación es transitiva, debemos demostrar que si xRy y yRz, entonces xRz. Supongamos que xRy, lo cual implica que x = y^n para algún entero positivo n. Si también tenemos yRz, entonces y = z^m para algún entero positivo m. Sustituyendo la segunda expresión en la primera, tenemos que x = (z^m)^n = z^(mn). Esto implica que xRz, por lo tanto, la relación es transitiva. En conclusión, la relación definida en Z por xRy ⇔ x = yn para algún n entero positivo es una relación de orden, ya que cumple con las propiedades de reflexividad, antisimetría y transitividad. Sin embargo, no puedo determinar si es un buen orden sin más información. Para que una relación sea un buen orden, además de ser una relación de orden, debe cumplir con la propiedad de ser bien fundada, es decir, no tener cadenas infinitas descendentes.