3.7 Aplicación involutiva o bien f−1(x) =  x 1 + x si x ≥ 0 x 1− x si x < 0, que la podemos expresar en la forma: f−1(x) = x 1 + |x|. 3.7. Apli...

3.7 Aplicación involutiva
o bien
f−1(x) =

x
1 + x
si x ≥ 0
x
1− x
si x < 0,
que la podemos expresar en la forma:
f−1(x) =
x
1 + |x|.
3.7. Aplicación involutiva
Sea A un conjunto. Se dice que la aplicación f : A → A es involutiva si,
y sólo si f ◦ f = IA. Determinar los valores de a y b reales para que la
aplicación f : R→ R, f(x) = ax+ b sea involutiva.
Solución. Tenemos las equivalencias
f involutiva⇔ f ◦ f = IR ⇔ (f ◦ f)(x) = IR(x) ∀x ∈ R
⇔ (f ◦ f)(x) = IR(x) ∀x ∈ R⇔ f [f(x)] = x ∀x ∈ R
⇔ f [ax+ b] = x ∀x ∈ R⇔ a(ax+ b) + b = x ∀x ∈ R
⇔ (a2 − 1)x+ b(a+ 1) = 0 ∀x ∈ R⇔
{
a2 = 1
b(a+ 1) = 0.
Resolviendo obtenemos (a = −1) ∨ (a = 1 ∧ b = 0).