4.8. Centro de un grupo Si (G, ·) es un grupo, se define el centro de G denotado por Z(G) como Z(G) = {z ∈ G : gz = zg , ∀g ∈ G}, es decir, como el...

Para demonstrar que Z(G) é um subgrupo normal de G, precisamos mostrar duas coisas: que Z(G) é um subgrupo de G e que é normal em G. 1. Z(G) é um subgrupo de G: - Para mostrar que Z(G) é um subgrupo, devemos verificar três propriedades: fechamento, identidade e inverso. - Fechamento: Se z1, z2 ∈ Z(G), então para qualquer g ∈ G, temos gz1 = z1g e gz2 = z2g. Portanto, gz1z2 = z1gz2 = z1z2g, o que implica que z1z2 ∈ Z(G). - Identidade: Como G é um grupo, possui uma identidade e essa identidade comuta com todos os elementos de G. Portanto, a identidade está em Z(G). - Inverso: Se z ∈ Z(G), então gz = zg para todo g ∈ G. Portanto, para qualquer g ∈ G, temos g⁻¹z = zg⁻¹, o que implica que g⁻¹z ∈ Z(G). - Assim, Z(G) satisfaz as três propriedades necessárias para ser um subgrupo de G. 2. Z(G) é um subgrupo normal de G: - Para mostrar que Z(G) é normal em G, devemos verificar que gZ(G) = Z(G)g para todo g ∈ G. - Se z ∈ Z(G), então gz = zg para todo g ∈ G. Portanto, para qualquer g' ∈ G, temos g'z = zg' e, consequentemente, g'Z(G) = Z(G)g'. - Assim, Z(G) é um subgrupo normal de G. Portanto, demonstramos que Z(G) é um subgrupo normal de G.