En G = R+ × R+ se define la operación (x, y) ∗ (z, u) = (xz, yu). (i) Demostrar que (G, ∗) es grupo abeliano. (ii) Demostrar que la aplicación: f...

(i) Para demostrar que (G, ∗) é um grupo abeliano, precisamos verificar as seguintes propriedades: 1. Fechamento: Para quaisquer elementos (x, y) e (z, u) em G, a operação ∗ deve produzir outro elemento em G. Neste caso, (x, y) ∗ (z, u) = (xz, yu), que é um elemento válido em G. 2. Associatividade: Para quaisquer elementos (x, y), (z, u) e (w, v) em G, temos [(x, y) ∗ (z, u)] ∗ (w, v) = (xz, yu) ∗ (w, v) = ((xz)w, (yu)v) e (x, y) ∗ [(z, u) ∗ (w, v)] = (x, y) ∗ (zw, uv) = (x(zw), y(uv)). Como a multiplicação é associativa em R+, temos que (xz)w = x(zw) e (yu)v = y(uv), portanto, a operação ∗ é associativa em G. 3. Elemento neutro: O elemento neutro em G é (1, 1), pois para qualquer elemento (x, y) em G, temos (x, y) ∗ (1, 1) = (x(1), y(1)) = (x, y). 4. Inverso: Para cada elemento (x, y) em G, seu inverso é dado por (1/x, 1/y), pois (x, y) ∗ (1/x, 1/y) = (x(1/x), y(1/y)) = (1, 1), que é o elemento neutro em G. 5. Comutatividade: Para quaisquer elementos (x, y) e (z, u) em G, temos (x, y) ∗ (z, u) = (xz, yu) = (zx, uy) = (z, u) ∗ (x, y). Portanto, a operação ∗ é comutativa em G, tornando-o um grupo abeliano. (ii) Para demonstrar que a função f: G → R, f(x, y) = log(xy) é um homomorfismo entre os grupos (G, ∗) e (R, +), precisamos verificar a seguinte propriedade: Para quaisquer elementos (x, y) e (z, u) em G, temos f((x, y) ∗ (z, u)) = f(xz, yu) = log((xz)(yu)) = log(xy) + log(zu) = f(x, y) + f(z, u). Portanto, a função f é um homomorfismo entre os grupos (G, ∗) e (R, +).