5.12 Ideal de las sucesiones acotadas y al ser I, J ideales, i1 − i2 ∈ I y j1 − j2 ∈ J, luego x− y ∈ I + J. Si a ∈ A y x ∈ I + J : ax = a(i1 + j1) ...

5.12 Ideal de las sucesiones acotadas
y al ser I, J ideales, i1 − i2 ∈ I y j1 − j2 ∈ J, luego x− y ∈ I + J.
Si a ∈ A y x ∈ I + J :
ax = a(i1 + j1) = ai1 + aj1,
xa = (i1 + j1)a = i1a+ j1a,
y al ser I, J ideales, ai1 e i1a pertenecen a I, y aj1 y j1a pertenecen a J,
luego ax y xa pertenecen a I + J.
6. Como I, J son ideales de A, son subanillos de este, por tanto 0 pertenece
a ambos, es decir I ∩ J 6= ∅.
Si x, y ∈ I ∩ J, entonces x − y pertenece a I y a J por ser ideales, luego
x− y ∈ I ∩ J. Si a ∈ A y x ∈ I ∩ J, entonces ax y xa pertenecen a I y a J
por ser ideales, luego ax ∈ I ∩ J y xa ∈ I ∩ J.
5.12. Ideal de las sucesiones acotadas
Demostrar que el conjunto N de las sucesiones reales nulas, es decir de ĺımite
0, es un ideal del anillo B de las sucesiones acotadas de números reales.
Solución. Sabemos que toda sucesión convergente está acotada, por tanto
N ⊂ B. La sucesión nula 0 = (0) tiene ĺımite 0, por tanto 0 ∈ N , es decir
N 6= ∅. Si x = (xn) e y = (yn) son elementos de N , entonces (xn) → 0
e (yn) → 0 lo cual implica por conocidas propiedades de los ĺımites que
x− y = (xn − yn)→ 0, luego x− y ∈ N .
Por último, si a = (an) ∈ B y (xn) ∈ N , entonces (an) está acotada y (xn) es
una sucesión nula. Por una conocida propiedad de los ĺımites, ax = (anxn)
es sucesión nula, luego ax ∈ N .
Concluimos que N es ideal de B.