1. Probar que con las operaciones usuales suma y producto de números com-plejos, Z[√5i] es un dominio de integridad.

Para provar que Z[√5i] é um domínio de integridade, precisamos mostrar que não existem elementos não nulos a e b em Z[√5i] tais que a * b = 0. Vamos supor que existam a e b em Z[√5i], ambos não nulos, tais que a * b = 0. Isso significa que (a + b√5i)(a - b√5i) = 0. Agora, vamos expandir essa expressão: (a + b√5i)(a - b√5i) = a^2 - ab√5i + ab√5i - b^2 * 5i^2 = a^2 - 5b^2 Se essa expressão é igual a zero, então a^2 - 5b^2 = 0. Isso implica que a^2 = 5b^2. Agora, vamos considerar os casos possíveis: 1. Se a^2 = 5b^2, então a^2 é divisível por 5. Isso significa que a também é divisível por 5. Podemos escrever a = 5k, onde k é um número inteiro. Substituindo na equação, temos (5k)^2 = 5b^2, o que implica em 25k^2 = 5b^2. Dividindo ambos os lados por 5, temos 5k^2 = b^2. Isso significa que b^2 é divisível por 5, o que implica que b também é divisível por 5. Portanto, a e b são ambos divisíveis por 5, o que contradiz nossa suposição de que a e b são não nulos. 2. Se a^2 = 5b^2, então b^2 é divisível por 5. Isso significa que b também é divisível por 5. Podemos escrever b = 5k, onde k é um número inteiro. Substituindo na equação, temos a^2 = 5(5k)^2, o que implica em a^2 = 125k^2. Isso significa que a^2 é divisível por 5, o que implica que a também é divisível por 5. Portanto, a e b são ambos divisíveis por 5, o que contradiz nossa suposição de que a e b são não nulos. Em ambos os casos, chegamos a uma contradição, o que significa que nossa suposição inicial de que existem a e b não nulos em Z[√5i] tais que a * b = 0 é falsa. Portanto, Z[√5i] é um domínio de integridade.