√5i] no nulo es unidad si y sólo si existe un a′ + b′ √5i ∈ Z[√5i] no nulo tal que (a + b√5i)(a′ + b′√5i) = 1. Tomando módulos al cuadrado, obten...

√5i] no nulo es unidad si y sólo si existe un a′ + b′ √5i ∈ Z[√5i] no nulo tal que (a + b√5i)(a′ + b′√5i) = 1. Tomando módulos al cuadrado, obtenemos (a2 +5b2)(a′2 +5b′2) = 1. Como los dos fac- tores anteriores son enteros positivos, ha de ser necesariamente a2 + 5b2 = 1 o equivalentemente a = ±1 ∧ b = 0. Es decir, las únicas posibles unida- des de Z[√5i] son 1,−1. Pero estos elementos son efectivamente unidades al cumplirse 1 · 1 = 1, (−1) · (−1) = 1.