3. Si A ∈ R4×4 tiene rango 3, y F,C son los subespacios de R4 generados por las filas y las columnas de A respectivamente, demostrar que dim(F∩C) ≥...

Para demonstrar que dim(F∩C) ≥ 2, podemos usar o Teorema da Dimensão. Sabemos que o rango de A é 3, o que significa que o número de colunas linearmente independentes em A é 3. Portanto, a dimensão de C é 3. Agora, vamos considerar o espaço gerado pelas filhas de A, que é o espaço F. Como A é uma matriz 4x4, o número de filas linearmente independentes em A é igual ao número de colunas linearmente independentes em A, que é 3. Portanto, a dimensão de F também é 3. Agora, vamos considerar a interseção entre F e C, que é o espaço F∩C. Pelo Teorema da Dimensão, sabemos que a dimensão da interseção de dois subespaços é no mínimo a soma das dimensões de cada subespaço menos a dimensão do espaço total. Neste caso, a dimensão do espaço total é 4 (R4). Portanto, temos: dim(F∩C) ≥ dim(F) + dim(C) - dim(R4) dim(F∩C) ≥ 3 + 3 - 4 dim(F∩C) ≥ 2 Portanto, podemos concluir que dim(F∩C) é no mínimo 2.