Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales en consecuencia unas ecuaciones paramétricas de F son: F ≡  x1 = −3λ1 − 2λ2 x2 = λ1 + 3λ2 x3 = 2λ1 x4 =...

Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales en consecuencia unas ecuaciones paramétricas de F son: F ≡  x1 = −3λ1 − 2λ2 x2 = λ1 + 3λ2 x3 = 2λ1 x4 = λ2 (λ1, λ2 ∈ R). 2. Podemos escribir F en la forma: F ≡  x1 x2 x3 x4  = λ1  1 2 −1 1 + λ2  1 1 3 0 + λ3  1 0 −7 1  (λ1, λ2, λ3 ∈ R). Los tres vectores columna anteriores generan a F, y fácilmente podemos ve- rificar que el rango de la matriz formada por estas columnas es 2. Dado que el rango de la matriz formada por las dos primeras columnas es dos, con- cluimos que estas forma una base de F. Con este proceso, hemos eliminado el parámetro innecesario λ3. Podemos ahora escribir F en la forma: F ≡  x1 x2 x3 x4  = µ1  1 2 −1 1 + µ2  1 1 3 0  (µ1, µ2 ∈ R). Eliminemos los parámeros µ1 y µ2. Tenemos: F ≡  x1 = µ1 + µ2 x2 = 2µ1 + µ2 x3 = −µ1 + 3µ2 x4 = µ1 (µ1, µ2 ∈ R). De las dos últimas ecuaciones obtenemos µ1 = x4 y µ2 = (x3 + x4)/2. Sustituyendo en las restantes ecuaciones y simplificando, obtenemos unas ecuaciones cartesianas o impĺıcitas de F : F ≡ { 3x1 − x3 − 4x4 = 0 3x2 − x3 − 7x4 = 0. 3. (a) El vector 0 = (0, . . . , 0)t de Kn, claramente cumple Ax = 0, es decir 0 ∈ F. Sean x, y ∈ F, entonces Ax = 0 y Ay = 0, por tanto A(x+ y) = Ax+Ay = 0 + 0 = 0,