9.35. Realificación de un espacio vectorial complejo Sea E un espacio vectorial sobre C al que denotamos por E(C). Se define el espacio realificad...

9.35. Realificación de un espacio vectorial complejo Sea E un espacio vectorial sobre C al que denotamos por E(C). Se define el espacio realificado de E(C) y se denota por E(R) al espacio vectorial sobre R obtenido al sustituir en el producto por escalares en E, el cuerpo C por el cuerpo R. Demostrar que si E(C) es de dimensión finita n, entonces E(R) es de dimensión 2n. Solución. Sea B = {u1, . . . , un} una base de E(C). Veamos que una base de E(R) es B′ = {u1, . . . , un, iu1, . . . , iun}, lo cual probará que dimE(R) = 2n. i) B′ es sistema libre en E(R). En efecto, supongamos que α1u1 + · · ·+ αnun + β1(iu1) + · · ·+ βn(iun) = 0 con los αk, βk reales. Entonces, (α1 + iβ1)u1 + · · · + (αn + iβn)un = 0. Ahora bien, como B es sistema libre en E(C), se verifica αk+ iβk = 0 para todo k = 1, . . . , n lo cual implica αk = βk = 0 para todo k = 1, . . . , n ii) B′ es sistema generador en E(R). En efecto, sea x ∈ E. Como B es sistema generador en E(C) existen escalares αk + iβk con los αk, βk reales tales que x = (α1 + iβ1)u1 + · · ·+ (αn + iβn)un, es decir x = α1u1 + · · ·+αnun+β1(iu1)+ · · ·+βn(iun) con los αk, βk reales.