Sea f: E → F una aplicación lineal. Demostrar que n: E → E/ker f, n(x) = x + ker f es epimorfismo. g: E/ker f → Im f, g(x + ker f) = f(x) es isomor...

Para demonstrar que n: E → E/ker f é um epimorfismo, precisamos mostrar que é uma função sobrejetora, ou seja, que para cada elemento y em E/ker f, existe pelo menos um elemento x em E tal que n(x) = y. Dado y em E/ker f, podemos escrevê-lo como y = x + ker f, onde x é um elemento qualquer em E. Agora, vamos aplicar a função n a x: n(x) = x + ker f Observe que n(x) = y, portanto, para cada elemento y em E/ker f, existe um elemento x em E tal que n(x) = y. Portanto, n é uma função sobrejetora e, consequentemente, um epimorfismo. Para demonstrar que g: E/ker f → Im f é um isomorfismo, precisamos mostrar que é uma função injetora e sobrejetora. Primeiro, vamos mostrar que g é injetora. Suponha que g(x + ker f) = g(x' + ker f), onde x e x' são elementos em E. Isso implica que f(x) = f(x'). Como f é uma aplicação linear, se f(x) = f(x'), então f(x - x') = 0. Isso significa que x - x' está em ker f. Portanto, x - x' = 0 + ker f, o que implica que x = x'. Portanto, g é injetora. Agora, vamos mostrar que g é sobrejetora. Para cada elemento y em Im f, existe um elemento x em E tal que f(x) = y. Podemos escrever y como y = f(x). Agora, vamos considerar o elemento x + ker f em E/ker f. Temos: g(x + ker f) = f(x) Observe que g(x + ker f) = y, portanto, para cada elemento y em Im f, existe um elemento x + ker f em E/ker f tal que g(x + ker f) = y. Portanto, g é uma função sobrejetora. Portanto, g é um isomorfismo. Quanto ao diagrama comutativo, temos: f = i ◦ g ◦ n Isso significa que a composição de n, g e i é igual a f.