Capítulo 10. Aplicaciones lineales 4. Se considera la aplicación lineal f : R3 → R4 cuya matriz asociada respecto de las bases canónicas es A = ...

Capítulo 10. Aplicaciones lineales
4. Se considera la aplicación lineal f : R3 → R4 cuya matriz asociada respecto de las bases canónicas es
A =

−1 2 3
2 −4 −6
0 −1 −2
1 1 3
 .
Localizar bases de R3 y R4 para que la matriz asociada a f sea de la forma[
Ir 0
0 0
]
, verificando el resultado.
5. Se considera la aplicación lineal f : R3[x]→ R2[x] dada por
f(p) = −p(0) + p′.
Hallar un par de bases en las que la matriz de f sea
[
Ir 0
0 0
]
.
6. Sea A la matriz de una aplicación lineal f : E → F, en las bases BE = {u1, . . . , um} y BF = {v1, . . . , vn}. Sean las nuevas bases B′E = {u′1, . . . , u′m}
y B′F = {v′1, . . . , v′n}.
Demostrar que la matriz de f en las bases B′E y B′F es Q−1AP, siendo P la matriz de cambio de BE a B′E y Q la de cambio de BF a B′F .
7. Demostrar que la relación en Kn×m : A ∼ B ⇔ A es equivalente a B, es una relación de equivalencia.
8. Sea f : E → F una aplicación lineal con dimE = m, dimF = n finitas y sea dim Im f = r. Demostrar que existen bases BE y BF de E y F respectivamente tales que:
[f ]BFBE =
[
Ir 0
0 0
]
, siendo Ir la matriz identidad de orden r.
Solución. 1. Las matrices A y B tienen el mismo orden, por tanto son equivalentes si, y sólo si rgA = rgB. Dado que
∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ = −1 6= 0, el rango de A es 2. Restando a la segunda fila de la matriz B, la primera:
rgB = rg
[
1 1 1
0 0 a− 5
]
= 2⇔ a− 5 6= 0.
Es decir, A y B son equivalente si, y solo si a 6= 5.