Tenemos que hallar la matriz de T con respecto a la base canónica en el espacio inicial y la misma en el espacio final. Primer método. Usemos el ...

Tenemos que hallar la matriz de T con respecto a la base canónica en el espacio inicial y la misma en el espacio final. Primer método. Usemos el conocido teorema del cambio de base para apli- caciones lineales. Llamemos E = F = R2 y consideremos las bases: BE = {u1 = (2,−1), u2 = (3, 1)}, BF = {v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)}. Se verifica { T (u1) = v1 + v2 T (u2) = 2v1 + 4v2, La matriz de T en las bases BE y BF es por tanto: A = [ 1 2 1 4 ] . Elijamos como nuevas bases B′E = B′F = {v1, v2}, es decir la canónica tanto en el espacio inicial como en el final. Tenemos:{ u1 = 2v1 − v2 u2 = 3v1 + v2, { v1 = v1 v2 = v2. Despejando v1 y v2 en la dos primeras igualdades:{ v1 = (1/5)v1 + (1/5)v2 v2 = (−3/5)u1 + (2/5)u2, { v1 = v1 v2 = v2. En consecuencia, las matrices de cambio P (de BE a B′E) y Q (de BF a B′F ) son P = 1 5 [ 1 −3 1 2 ] , Q = [ 1 0 0 1 ] , y la matriz pedida es Q−1AP = I−1 · [ 1 2 1 4 ] · 1 5 [ 1 −3 1 2 ] = 1 5 [ 3 1 5 5 ] .