3. Sea E = Kn×n el espacio vectorial de las matrices cuadradas de ordenes n y M ∈ E matriz fija dada. Se define la aplicación: f : E × E → K, f(X,Y...

Para demonstrar que a aplicação f(X, Y) = tr(XTMY) é uma forma bilinear, precisamos verificar duas propriedades: a linearidade em relação à primeira entrada e a linearidade em relação à segunda entrada. 1. Linearidade em relação à primeira entrada: Para mostrar que f(X + Y, Z) = f(X, Z) + f(Y, Z), onde X, Y e Z são matrizes em E, podemos fazer o seguinte cálculo: f(X + Y, Z) = tr((X + Y)TMZ) (1) = tr(XTMZ + YTMZ) (2) = tr(XTMZ) + tr(YTMZ) (3) = f(X, Z) + f(Y, Z) (4) No passo (2), usamos a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes. No passo (3), usamos a propriedade da traza, que é linear. Portanto, a aplicação f é linear em relação à primeira entrada. 2. Linearidade em relação à segunda entrada: Para mostrar que f(X, Y + Z) = f(X, Y) + f(X, Z), onde X, Y e Z são matrizes em E, podemos fazer o seguinte cálculo: f(X, Y + Z) = tr(XT(Y + Z)M) (1) = tr(XTYM + XTZM) (2) = tr(XTYM) + tr(XTZM) (3) = f(X, Y) + f(X, Z) (4) Novamente, no passo (2), usamos a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes. No passo (3), usamos a propriedade da traza, que é linear. Portanto, a aplicação f é linear em relação à segunda entrada. Como a aplicação f é linear tanto em relação à primeira quanto à segunda entrada, podemos concluir que f é uma forma bilinear. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.