13.5. Suma directa de las formas bilineales simétri- cas y antisimétricas Sea E espacio vectorial sobre el cuerpo K y B(E) el espacio vectorial d...

13.5. Suma directa de las formas bilineales simétri- cas y antisimétricas Sea E espacio vectorial sobre el cuerpo K y B(E) el espacio vectorial de las formas bilineales de E × E en K. Demostrar que 1) S = {f ∈ B(E) : f es simétrica} es subespacio de B(E). 2) A = {f ∈ B(E) : f es antisimétrica} es subespacio de B(E). 3) carac K 6= 2⇒ B(E) = S ⊕A. Solución. 1) (i) la forma bilineal nula 0 satisface 0(y, x) = 0(x, y) = 0 para todo x, y ∈ E, por tanto 0 ∈ S. (ii) Sean f, g ∈ S. Para todo x, y ∈ E : (f + g)(y, x) = f(y, x) + g(y, x) = f(x, y) + g(x, y) = (f + g)(x, y), lo cual implica que f+g ∈ S. (iii) Sean λ ∈ K y f ∈ S. Para todo x, y ∈ E : (λf)(y, x) = λf(y, x) = λf(x, y) = (λf)(x, y), lo cual implica que λf ∈ S. Concluimos que S es subespacio de B(E). 2) (i) la forma bilineal nula 0 satisface 0(y, x) = −0(x, y) = 0 para todo x, y ∈ E, por tanto 0 ∈ A. (ii) Sean f, g ∈ A. Para todo x, y ∈ E : (f + g)(y, x) = f(y, x) + g(y, x) = −f(x, y)− g(x, y) = − (f(x, y) + g(x, y)) = −(f + g)(x, y), lo cual implica que f+g ∈ A. (iii) Sean λ ∈ K y f ∈ S. Para todo x, y ∈ E : (λf)(y, x) = λf(y, x) = λ (−f(x, y)) = −λf(x, y) = −(λf)(x, y), lo cual implica que λf ∈ A. Concluimos que A es subespacio de B(E).