2. Se considera la forma bilineal simétrica: f : R2 × R2 → R, f(x, y) = x1y2 + x2y1. Hallar una matriz diagonal que la represente y la correspondi...

Para encontrar uma matriz diagonal que represente a forma bilinear simétrica f, podemos usar a seguinte abordagem: 1. Primeiro, vamos encontrar a matriz de coeficientes da forma bilinear f em relação à base canônica de R². Para isso, calculamos f(e₁, e₁), f(e₁, e₂), f(e₂, e₁) e f(e₂, e₂), onde e₁ e e₂ são os vetores da base canônica de R². f(e₁, e₁) = e₁₁ * e₁₂ + e₁₂ * e₁₁ = 0 + 0 = 0 f(e₁, e₂) = e₁₁ * e₂₂ + e₁₂ * e₂₁ = 0 + 1 = 1 f(e₂, e₁) = e₂₁ * e₁₂ + e₂₂ * e₁₁ = 1 + 0 = 1 f(e₂, e₂) = e₂₁ * e₂₂ + e₂₂ * e₂₁ = 0 + 0 = 0 Portanto, a matriz de coeficientes de f em relação à base canônica é: [0 1] [1 0] 2. Em seguida, encontramos os autovalores e autovetores dessa matriz de coeficientes. Os autovalores são as raízes do polinômio característico da matriz, e os autovetores correspondentes são os vetores que satisfazem a equação (A - λI)v = 0, onde A é a matriz de coeficientes, λ é o autovalor e I é a matriz identidade. O polinômio característico da matriz [0 1; 1 0] é λ² - 1 = 0, que tem as raízes λ₁ = 1 e λ₂ = -1. Para λ₁ = 1, resolvemos a equação (A - λ₁I)v = 0: [0 1; 1 0] - [1 0; 0 1] = [-1 1; 1 -1]v = 0 A solução dessa equação é v₁ = [1 1]ᵀ. Para λ₂ = -1, resolvemos a equação (A - λ₂I)v = 0: [0 1; 1 0] - [-1 0; 0 -1] = [1 1; 1 1]v = 0 A solução dessa equação é v₂ = [-1 1]ᵀ. 3. Agora, construímos a matriz diagonal D usando os autovalores encontrados: D = [λ₁ 0; 0 λ₂] = [1 0; 0 -1] 4. Por fim, encontramos a base de vetores conjugados correspondente aos autovetores: A base de vetores conjugados é formada pelos autovetores normalizados. Portanto, os vetores conjugados são: u₁ = v₁ / ||v₁|| = [1 1]ᵀ / √2 = [1/√2 1/√2]ᵀ u₂ = v₂ / ||v₂|| = [-1 1]ᵀ / √2 = [-1/√2 1/√2]ᵀ Portanto, a matriz diagonal que representa a forma bilinear f é D = [1 0; 0 -1], e a base de vetores conjugados correspondente é {u₁, u₂} = {[1/√2 1/√2]ᵀ, [-1/√2 1/√2]ᵀ}.