3. En R2 se considera el operador T cuya matriz en una base ortonormal B = {u1, u2} es A = [ 1 −2 −2 1 ]. Demostrar que T es simétrico, hallar una...

Para demonstrar que o operador T é simétrico, precisamos verificar se a matriz A é igual à sua transposta. No caso, a matriz A é: A = [ 1 -2 -2 1 ] A transposta de A é: A^T = [ 1 -2 -2 1 ] Podemos ver que A é igual à sua transposta, portanto, o operador T é simétrico. Para encontrar uma base ortonormal formada por vetores próprios, precisamos calcular os autovalores e autovetores da matriz A. Os autovalores são as raízes do polinômio característico det(A - λI) = 0, onde I é a matriz identidade. Calculando o polinômio característico, temos: det(A - λI) = det([1 -2 -2 1] - λ[1 0 0 1]) = det([1-λ -2 -2 1-λ]) = (1-λ)(1-λ) - (-2)(-2) = λ^2 - 2λ + 1 - 4 = λ^2 - 2λ - 3 = (λ - 3)(λ + 1) As raízes do polinômio característico são λ = 3 e λ = -1. Agora, para cada autovalor, precisamos encontrar os autovetores correspondentes resolvendo a equação (A - λI)v = 0. Para λ = 3: (A - 3I)v = 0 ([1 -2 -2 1] - 3[1 0 0 1])v = 0 ([-2 -2 -2 -2])v = 0 Da primeira linha da matriz, temos -2v1 - 2v2 = 0, o que implica em v1 = -v2. Podemos escolher v2 = 1, o que nos dá v1 = -1. Portanto, um autovetor correspondente a λ = 3 é v = [-1 1]. Para λ = -1: (A + I)v = 0 ([1 -2 -2 1] + [1 0 0 1])v = 0 ([2 -2 -2 2])v = 0 Da primeira linha da matriz, temos 2v1 - 2v2 = 0, o que implica em v1 = v2. Podemos escolher v2 = 1, o que nos dá v1 = 1. Portanto, um autovetor correspondente a λ = -1 é v = [1 1]. Agora, para obter uma base ortonormal, normalizamos os autovetores encontrados: v1 = [-1 1] / sqrt(2) = [-1/sqrt(2) 1/sqrt(2)] v2 = [1 1] / sqrt(2) = [1/sqrt(2) 1/sqrt(2)] Portanto, uma base ortonormal formada pelos autovetores é B' = {[-1/sqrt(2) 1/sqrt(2)], [1/sqrt(2) 1/sqrt(2)]}. A matriz diagonal correspondente é D = [3 0 0 -1], onde os elementos diagonais são os autovalores correspondentes. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.