Caṕıtulo 14. Producto escalar = 1 3 [ 3 0 0 3 ] = [ 1 0 0 1 ] , por tanto U es unitaria. 2. Si U es matriz real y unitaria, U∗ = ( U )t = U t. Ent...

Caṕıtulo 14. Producto escalar
=
1
3
[
3 0
0 3
]
=
[
1 0
0 1
]
,
por tanto U es unitaria.
2. Si U es matriz real y unitaria, U∗ =
(
U
)t
= U t. Entonces, U es unitaria
si, y sólo si U tU = I lo cual equivale a decir que U es ortogonal.
3. El producto escalar complejo usual de dos vectores columna x = (xj),
y = (yj) de Cn×n sabemos que viene dado por
〈x, y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn = y∗x.
Si C1, . . . , Cn son las columnas de U,
U∗U =

C∗1
C∗2
...
C∗n
 [C1, C2, . . . , Cn] =

C∗1C1 C
∗
1C2 . . . C
∗
1Cn
C∗2C1 C
∗
2C2 . . . C
∗
2Cn
...
...
C∗nC1 C
∗
nC2 . . . C
∗
nCn

=

〈C1, C1〉 〈C2, C1〉 . . . 〈Cn, C1〉
〈C1, C2〉 〈C2, C2〉 . . . 〈Cn, C2〉
...
...
〈C1, Cn〉 〈C2, Cn〉 . . . 〈Cn, Cn〉
 .
En consecuencia,
U es unitaria ⇔ U∗U = I ⇔
{
〈Ci, Cj〉 = 0 i 6= j
〈Ci, Ci〉 = ‖Ci‖2 = 1 ∀i = 1, . . . , n,
de lo cual se concluye la propiedad. Sean ahora C1 y C2 las columnas de M.
Entonces,
‖C1‖ =
√
〈C1, C1〉 =
√
0 · 0 + (−i) · i =
√
1 = 1,
‖C2‖ =
√
〈C2, C2〉 =
√
i · (−i) + 0 · 0 =
√
1 = 1,
〈C1, C2〉 = 0 · (−i) + (−i) · 0 = 0,
por tanto M es unitaria.
4. 1) Sean A,B ∈ Cn×n unitarias. Entonces,
(AB)∗(AB) = B∗A∗AB = B∗IB = B∗B = I ⇒ AB es unitaria.
2) Tenemos I∗I = II = I, por tanto I es unitaria.