(a) Descomponer en producto de factores irreducibles los polinomios de Z5[x] p(x) = x4 + 4x3 + x2 + 4x, q(x) = x3 + x2 + x+ 1. (b) Calcular mcd (p(...

(a) Para descompor os polinômios p(x) e q(x) em fatores irreducíveis em Z5[x], precisamos encontrar os divisores de cada polinômio e verificar se eles são irreducíveis. Para p(x) = x^4 + 4x^3 + x^2 + 4x, podemos fatorar da seguinte forma: p(x) = x(x^3 + 4x^2 + x + 4) Agora, vamos verificar se o polinômio x^3 + 4x^2 + x + 4 é irreducível em Z5[x]. Podemos fazer isso verificando se ele possui raízes em Z5. Testando os valores de x = 0, 1, 2, 3 e 4, vemos que nenhum deles é raiz do polinômio. Portanto, x^3 + 4x^2 + x + 4 é irreducível em Z5[x]. Assim, a decomposição de p(x) em fatores irreducíveis em Z5[x] é: p(x) = x(x^3 + 4x^2 + x + 4) Para q(x) = x^3 + x^2 + x + 1, não é possível fatorar em fatores irreducíveis em Z5[x], pois não possui raízes em Z5. Portanto, q(x) já está irreducível em Z5[x]. (b) Para calcular o mdc(p(x), q(x)) e o mmc(p(x), q(x)), precisamos encontrar os fatores comuns e os fatores únicos de cada polinômio. Para p(x) = x^4 + 4x^3 + x^2 + 4x e q(x) = x^3 + x^2 + x + 1, não há fatores comuns entre eles, pois não possuem raízes em comum em Z5. Portanto, o mdc(p(x), q(x)) = 1. Para calcular o mmc(p(x), q(x)), precisamos multiplicar os fatores únicos de cada polinômio. Neste caso, o mmc(p(x), q(x)) será o próprio produto dos polinômios, pois eles não possuem fatores em comum. Assim, o mmc(p(x), q(x)) = p(x) * q(x) = (x^4 + 4x^3 + x^2 + 4x)(x^3 + x^2 + x + 1). Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.