Resolva a equação diferencial ordinária de segunda ordem de valores y'' + y = sen x + x(). Iniciais y π = 0 e y' π = 2.()

A equação diferencial ordinária de segunda ordem que você apresentou é y'' + y = sen(x) + x(). Para resolvê-la, podemos utilizar o método da função de Green. Primeiro, vamos encontrar a solução homogênea da equação, que é a solução da equação diferencial sem o termo não homogêneo. A equação homogênea correspondente é y'' + y = 0. A solução geral dessa equação é dada por y_h(x) = c1*cos(x) + c2*sin(x), onde c1 e c2 são constantes a serem determinadas. Agora, vamos encontrar a solução particular da equação não homogênea. Para isso, consideramos uma solução particular da forma y_p(x) = A*sin(x) + B*cos(x), onde A e B são constantes a serem determinadas. Substituindo essa solução na equação diferencial, temos: y_p'' + y_p = sen(x) + x() Derivando duas vezes y_p(x), temos: y_p''(x) = -A*sin(x) - B*cos(x) Substituindo na equação diferencial, temos: (-A*sin(x) - B*cos(x)) + (A*sin(x) + B*cos(x)) = sen(x) + x() Simplificando, temos: sen(x) + x() = sen(x) + x() Portanto, não é possível determinar valores específicos para A e B que satisfaçam a equação não homogênea. A solução geral da equação diferencial de segunda ordem é dada pela soma da solução homogênea e da solução particular: y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = c1*cos(x) + c2*sin(x) + A*sin(x) + B*cos(x) Agora, podemos utilizar as condições iniciais y(π) = 0 e y'(π) = 2 para determinar os valores das constantes c1, c2, A e B. Substituindo x = π na equação, temos: 0 = c1*cos(π) + c2*sin(π) + A*sin(π) + B*cos(π) Simplificando, temos: 0 = -c1 + A Derivando y(x), temos: y'(x) = -c1*sin(x) + c2*cos(x) + A*cos(x) - B*sin(x) Substituindo x = π na equação, temos: 2 = -c1*sin(π) + c2*cos(π) + A*cos(π) - B*sin(π) Simplificando, temos: 2 = -c1 - B Agora, temos um sistema de equações: 0 = -c1 + A 2 = -c1 - B Resolvendo esse sistema, encontramos: A = c1 B = -c1 - 2 Portanto, a solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: y(x) = c1*cos(x) + c2*sin(x) + c1*sin(x) + (-c1 - 2)*cos(x) Espero que isso ajude! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.