sejam a,b,k E Z, com k >0. Prove que se d=mdc(a,b), então d.k=mdc(a.b,b.k)

Para provar essa afirmação, podemos usar a propriedade do máximo divisor comum (mdc) de que mdc(a,b) = mdc(a.k, b.k) para qualquer número inteiro k. Dado que d = mdc(a,b), podemos escrever a = d.x e b = d.y, onde x e y são inteiros. Agora, vamos considerar o número a.b. Temos que a.b = (d.x)(d.y) = d^2.xy. Por outro lado, o número b.k é igual a (d.y).k = d.k.y. Agora, vamos calcular o mdc(a.b, b.k). Temos que mdc(a.b, b.k) = mdc(d^2.xy, d.k.y). Podemos observar que d é um fator comum a ambos os números, então podemos simplificar a expressão: mdc(d^2.xy, d.k.y) = mdc(d(d.xy), d(k.y)). Agora, usando a propriedade do mdc mencionada anteriormente, podemos simplificar ainda mais: mdc(d(d.xy), d(k.y)) = mdc(d.xy, k.y). Portanto, concluímos que mdc(a.b, b.k) = mdc(d.xy, k.y). Isso mostra que d.k é o mdc de a.b e b.k, como queríamos demonstrar.