2.4.2 Producto punto y el ángulo entre dos vectores Cuando dos vectores distintos de cero se colocan en posición estándar, ya sea en dos dimensione...

2.4.2 Producto punto y el ángulo entre dos vectores
Cuando dos vectores distintos de cero se colocan en posición estándar, ya sea en dos dimensiones o en tres dimensiones, forman un ángulo entre ellos (Figura 2.44). El producto punto proporciona una forma de encontrar la medida de este ángulo. Esta propiedad es el resultado del hecho de que podemos expresar el producto escalar en términos del coseno del ángulo formado por dos vectores.
Figura 2.44. Sea el ángulo entre dos vectores distintos de cero y , de modo que .
(a ⋅ b)c
a ⋅ (2c)
∥b∥2
u v
0 ≤ θ ≤ π
185 /
TEOREMA 2.4
Evaluación de un producto punto
El producto punto de dos vectores es el producto de la magnitud de cada vector y el coseno del ángulo entre ellos:
Prueba
Coloca los vectores y en la posición estándar y considera el vector (Figura 2.45). Estos tres vectores forman un triángulo con longitudes laterales y .
Figura 2.45. Las longitudes de los lados del triángulo están dadas por las magnitudes de los vectores que forman el triángulo.
En la página siguiente puedes observar e interactuar con el tríangulo en una escena tridimensional.
u ⋅ v = ∥u∥∥v∥cosθ (2.4)
u v
v−u
∥u∥, ∥v∥ ∥v−u∥
186 os cosenos describe la relación entre las longitudes laterales del triángulo y el ángulo . La aplicación de la ley de cosenos aquí da
El producto punto proporciona una forma de reescribir el lado izquierdo de esta ecuación:
θ
∥v−u∥ = ∥u∥ +2 ∥v∥ −2∥u∥∥v∥cosθ2
∥v−u∥2 = (v−u) ⋅ (v−u)
= (v−u) ⋅ v−(v−u) ⋅ u
= v ⋅ v−u ⋅ v−v ⋅ u+ u ⋅ u
= v ⋅ v−u ⋅ v−u ⋅ v + u ⋅ u
= ∥v∥ −2u ⋅ v + ∥u∥2 2
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