Considera los vectores , y . a. Demuestra que , y son coplanarios al usar su producto triple escalar b. Demuestra que , y son coplanares, utilizand...

Para demonstrar que os vetores u, v e w são coplanares usando o produto triplo escalar, precisamos verificar se o produto triplo escalar entre eles é igual a zero. O produto triplo escalar é dado pela seguinte fórmula: u · (v × w) = 0 Substituindo os valores dos vetores u, v e w, temos: u = ⟨1, 0, -8⟩ v = ⟨0, 1, 6⟩ w = ⟨-1, 9, 3⟩ Calculando o produto triplo escalar: u · (v × w) = ⟨1, 0, -8⟩ · ((0, 1, 6) × (-1, 9, 3)) Para calcular o produto cruzado entre v e w, utilizamos a seguinte fórmula: (v × w) = (v2w3 - v3w2, v3w1 - v1w3, v1w2 - v2w1) (v × w) = (1*3 - 6*9, 6*(-1) - 0*3, 0*9 - 1*(-1)) (v × w) = (-51, -6, 1) Agora, substituindo o valor do produto cruzado no produto triplo escalar: u · (v × w) = ⟨1, 0, -8⟩ · (-51, -6, 1) Realizando o produto escalar: u · (v × w) = 1*(-51) + 0*(-6) + (-8)*1 u · (v × w) = -51 - 8 u · (v × w) = -59 Como o resultado do produto triplo escalar é diferente de zero (-59 ≠ 0), podemos concluir que os vetores u, v e w são coplanares. Para demonstrar que os vetores u, v e w são coplanares utilizando a definição de que existem dois números reais distintos de zero (a e b) de modo que au + bv = w, precisamos encontrar os valores de a e b que satisfaçam essa igualdade. Dado que: u = ⟨1, 0, -8⟩ v = ⟨0, 1, 6⟩ w = ⟨-1, 9, 3⟩ Podemos escrever a igualdade na forma de um sistema de equações: a*⟨1, 0, -8⟩ + b*⟨0, 1, 6⟩ = ⟨-1, 9, 3⟩ Simplificando o sistema de equações, temos: a + 0 = -1 0 + b = 9 -8a + 6b = 3 Da primeira equação, temos que a = -1. Substituindo o valor de a na segunda equação, temos: 0 + b = 9 b = 9 Agora, substituindo os valores de a e b na terceira equação, temos: -8*(-1) + 6*9 = 3 8 + 54 = 3 62 = 3 Como a última equação não é verdadeira (62 ≠ 3), não existem valores de a e b que satisfaçam a igualdade au + bv = w. Portanto, os vetores u, v e w não são coplanares utilizando essa definição. Para demonstrar que os vetores u, v e w são linearmente independentes, ou seja, nenhum dos vetores é uma combinação linear dos outros dois, podemos verificar se o determinante formado pelos vetores é diferente de zero. O determinante é dado pela seguinte fórmula: | u v w | | 1 0 -8 | | 0 1 6 | | -1 9 3 | Calculando o determinante, temos: | u v w | = 1*(1*3 - 6*(-8)) - 0*(-1*3 - 6*(-1)) + (-8)*(-1*9 - 3*0) | u v w | = 1*(3 + 48) - 0*(-3 + 6) + (-8)*(-9) | u v w | = 1*(51) - 0*(3) + (-8)*(-9) | u v w | = 51 + 0 + 72 | u v w | = 123 Como o determinante é diferente de zero (123 ≠ 0), podemos concluir que os vetores u, v e w são linearmente independentes.