apostila vetor (1)

Prévia do material em texto

Capítulo 3.
Vetores-
Definição
Conceitos matemáticos são muitas vezes ligados a fenômenos físicos, para adequada representação dos mesmos. Grandezas como temperatura, potência e outras são completamente definidas por um único valor numérico. Exemplificando: 5 kg de massa, 10 m2 de área, 12 cm de largura.
Tais grandezas são denominadas escalares porque, na forma gráfica, podem ser visualizadas como um ponto em uma escala conforme Figura (a).
Outras, como velocidade, força, etc., precisam, além do valor escalar, de uma direção e um sentido, e graficamente são representadas por um segmento de reta com seta, sendo estas chamadas grandezas vetoriais.
Portanto, um vetor define corretamente a grandeza através do seu comprimento e do ângulo que faz com uma referência, conforme (b) da figura.
Exemplo: Uma força é aplicada em um corpo, sendo a direção, sentido e intensidade da força representados pelo vetor denotado por 
 de acordo com a figura.
Comprimento de 
: Representa a intensidade da força.
Ângulo que 
 faz com a referência: Fornece a direção e sentido de 
.
Notações de vetor
Uma letra minúscula encimada por uma seta. Ex: 
Uma letra latina minúscula sobrelinhada. Ex: 
Dois pontos que são a origem e a extremidade do vetor.
 Ex:
 Vetor: 
Vetores equivalentes.
Vetores orientados com mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento representam o mesmo vetor. 
 Não equivalentes
 Equivalentes
Módulo de um vetor
	É o número não negativo que indica o comprimento do vetor.
 
 
Vetor nulo (
)
	É um vetor de módulo igual a zero, sendo um ponto a sua representação gráfica.
Vetor unitário
	É o vetor de módulo igual a 1.
 
 Então: 
Versor
	O versor de um vetor 
 não nulo, é o vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo sentido de 
.
 Exemplo:
� então 
 
Vetor oposto
Dado um vetor 
 o seu oposto é o vetor 
, e se indica por -
. O vetor oposto de um vetor 
 é representado por -
.
Exemplo: 
Vetores paralelos
	Dois vetores são paralelos se possuem a mesma direção.
Exemplo:
 
 
Multiplicação de um vetor por um escalar
	Seja k um escalar e 
 um vetor. O produto do vetor 
 pelo número real k é representado por 
.
 
: Tem a mesma direção de 
;
 Tem comprimento 
 vezes o comprimento de 
;
 Tem o mesmo sentido de 
 se k > 0, e sentido contrário a 
 se k<0.
	A figura ilustra a relação entre 
 e os vetores 
, 
 e 
 �
	Um vetor da forma 
 é chamado múltiplo escalar de 
. Como é visível da figura anterior, vetores que são múltiplos escalares um do outro são paralelos.
Soma e subtração de vetores.
Somando dois vetores
A regra da adição: dados os vetores 
 e 
, faça uma translação de 
 de modo que seu ponto inicial coincida com o ponto final de 
. A soma 
 é o vetor que sai do ponto inicial de 
 e vai até o ponto final de 
 
Na figura abaixo, construímos duas somas 
 e 
, ficando evidente que:
 
 
É evidente também que a soma coincide com a diagonal do paralelogramo determinado por 
 e 
 quando estes vetores são posicionados com o mesmo ponto inicial. Isto conduz a uma versão equivalente à regra da adição:
Regra do paralelogramo- Dados os vetores 
 e 
, sua soma 
 é o vetor sobre a diagonal do paralelogramo determinado por 
 e 
. (ver figura abaixo)
 
Subtraindo dois vetores 
	Se 
 e 
 são dois vetores quaisquer então a diferença entre 
 e 
 é definida por 
 
 (Ver figura abaixo)
 �
	Para obter a diferença 
 sem construir 
, posicione 
 e 
 de tal modo que seus pontos iniciais coincidam; o vetor do ponto final de 
 ao ponto final de 
 é então o vetor 
 (Ver figura abaixo).
 �
	Da figura abaixo, pode-se ver que: Num paralelogramo construído sobre dois vetores 
 e 
, 
 e 
 correspondem às diagonais deste paralelogramo.
 
 Exercícios:
1) Desenhe os vetores 
, 
 
2) Some os vetores pelo primeiro modo (origem com extremidade)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Some os vetores pela regra do paralelogramo.
 
 
 
 
4) Desenhe o vetor:
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
Vetores em sistemas de coordenadas
	A introdução de um sistema de coordenadas retangulares muitas vezes simplifica problemas envolvendo vetores. Seja V um vetor no plano, que tenha sido posicionado com seu ponto inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares de acordo com a figura abaixo. As coordenadas 
 do ponto final de V são chamadas de componentes de V e escrevemos
 V
 �
	Por exemplo: Na figura abaixo 
 
	Muitas vezes é conveniente usar vetores coluna ao invés de vetores linha, por exemplo, outra representação de 
 é 
.
	Um vetor que tem seu ponto inicial na origem, está na posição padrão. Todo vetor pode ser desenhado na posição padrão.
 �
Um vetor nem sempre está na posição padrão, ou seja, seu ponto inicial pode ser um ponto qualquer do plano.
	Por exemplo, considere um vetor 
 com ponto inicial A=(3,1) e ponto final B=(6,3), podemos ver pela figura que em termos de componentes 
 pode ser escrito como 
 
 
Note que o vetor 
. é simplesmente a diferença entre as respectivas coordenadas.
Exemplo: 
Dados A=(-1,2) e B=(3,4), ache 
 e redesenhe-o (a) na posição padrão e (b) com ponto inicial no ponto C=(2,-1).
Solução:
 
Exercícios:
5) Desenhe os seguintes vetores em posição padrão em 
.
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
6) Para cada um dos seguintes pares de pontos, desenhe o vetor 
. Depois determine e redesenhe 
 na posição padrão.
a) A=(2,2), B= (3,5) b) A=(-3,5), B= (6,-2)
7) Ache o vetor representado pela flecha 
, onde P = (1,2), Q = (2,4). Represente 
 no plano de duas maneiras: Uma com origemem P e outra com origem em (0,0).
Operações vetoriais de soma e multiplicação por escalar em termos de componentes.
Soma
Como é ilustrado na figura abaixo, se 
 V
 e W= 
Então V + W= 
 �
Observe que em termos de notação de vetores coluna teremos,
 V + W
Exemplo:
Dados 
 e 
, calcule e desenhe 
.
Solução: 
Multiplicação por escalar
Se V
 e 
 é um escalar então 
 
V
 ou 
V
 �
Exemplo:
Se 
, determine e desenhe 
,
 e 
.
Solução:
 
Subtração
Sejam V
 e W= 
Então V - W= 
Resultado a que se chega das definições anteriores de soma e multiplicação por escalar, pois:
 V – W= V + (- W)= V + (-1) W
 
 
Exemplo:
Sendo 
 e 
, calcule 
 e desenhe 
, 
 e 
.
Exercícios:
8) Sendo 
 b) 
 c) 
 
Determine os vetores indicados e mostre como os resultados podem ser obtidos geometricamente.
a) 
 b) 
9) Sendo 
Calcule
Vetores no espaço tridimensional
Sistema de coordenadas retangulares tridimensional
Para construir um sistema de coordenadas retangulares tridimensional, selecionamos um ponto O, denominado origem e escolhemos três retas mutuamente perpendiculares passando pela origem, e denominadas eixos coordenados. Designe estes eixos por 
, 
 e 
 e selecione um sentido positivo para cada eixo coordenado, de acordo com a regra da mão-direita: Posicione quatro dedos da mão direita (de acordo com a figura) na direção e sentido de 
 positivo, gire os dedos na direção do eixo y positivo, a direção que apontar o dedo polegar será a direção positiva do eixo z.
 
Cada par de eixos coordenados determina um plano coordenado. Referimo-nos aos planos coordenados como planos 
, 
 e 
.
A cada ponto P no espaço tridimensional associamos um terno 
, de números, chamados coordenadas de P. (Ver figura abaixo)
Exemplo:
Marque os pontos cujas coordenadas são A=(3,4,5), B=(0,2,5) e C= (2,-2,3)
Vetores no espaço tridimensional
Se um vetor V no espaço tridimensional for posicionado com seu ponto inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares, como na figura abaixo, então as coordenadas do ponto final são chamadas os componentes de V e escrevemos 
 V
Tudo o que foi feito para vetores no plano se generaliza para vetores no espaço tridimensional. Veja o exemplo: 
 Se 
 e 
 então 
 
 
 
Exercícios:
10) Marque em um sistema de coordenadas tridimensional os pontos:
A= (3,4,5) B= (-3,4,5) C= (3,-4,5) D= (3,4,-5) E= (3,0,3)
11) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem:
 
 
12) Sendo 
Calcule
Obtendo as componentes de um vetor (Vetores dados por extremidades).
	Vimos anteriormente, no estudo de vetores no plano, que um vetor nem sempre está na posição padrão, ou seja, seu ponto inicial pode ser um ponto qualquer do plano. Do exemplo dado vimos que um vetor com ponto inicial em A=(3,1) e ponto final B=(6,3), pode ser escrito como 
 
Sendo o vetor 
 simplesmente a diferença entre as respectivas coordenadas.
	Este resultado pode agora ser obtido, usando o conceito de diferença entre vetores. Observe a figura: 
Seja 
 o vetor com origem no ponto 
 e extremidade no ponto 
. Da figura vemos que
 
 
O que implica 
Logo:
 Sendo 
 e 
, o vetor 
 será dado por 
Exemplo:
Ache o vetor representado pela flecha 
, onde P = (1,2), Q = (2,4). Represente 
 no plano de duas maneiras: Uma com origem em P e outra com origem em (0,0).
	Em três dimensões, para obter o vetor 
 com extremidades 
 e 
, procedemos da mesma maneira anterior. Veja a figura:
Seja 
 o vetor com origem no ponto 
 e extremidade no ponto 
. Da figura vemos que
 
O que implica 
Logo:
 Sendo 
 e 
, o vetor 
 será dado por 
Exemplo:
Encontre o vetor 
, onde P = (1,2,3), Q = (4,5,6).
Solução: 
 
Exercícios:
13) Encontre as componentes do vetor de ponto inicial 
 e ponto final 
.
a) 
 b) 
c) 
 d) 
Norma de um vetor
O comprimento (módulo) de um vetor 
é muitas vezes chamado de norma de 
, podendo ser denotada por 
 ou 
.
Cálculo da norma de um vetor em termos das coordenadas do vetor.
Espaço bidimensional
Seja 
 �
Da figura vemos que a e b são as medidas dos catetos de um triângulo retângulo e 
 é o valor da hipotenusa . Do teorema de Pitágoras temos
 
Logo:
Sendo 
 a norma de 
 será dada por 
Exemplo:
Sendo 
, calcule 
.
Solução: 
 
=
Exemplo:
Calcule a norma do vetor de ponto inicial (5,3) e ponto final (2,4)
 
 
=
 (pois 2-5 e 4-3 são as componentes x e y respectivamente de 
)
 =
=
Espaço tridimensional
Seja 
Da figura vemos que a hipotenusa do triângulo retângulo no plano 
 de catetos a e b, é um cateto do triângulo retângulo que tem valor da hipotenusa 
.Chamando de h o valor da hipotenusa do triângulo retângulo no plano 
, temos 
 
 (1)
Mas 
�� EMBED Equation.3 (2)
Substituindo (1) em (2) finalmente obtemos
 
Logo:
Sendo 
 a norma de 
 será dada por 
Exemplo:
Calcule o módulo do vetor 
.
Solução:
 
Exemplo:
Calcule o módulo do vetor 
, onde P = (1,2,3), Q = (4,5,6).
Solução:
 
Ou diretamente: 
Exercícios:
14) Calcule a norma dos vetores:
15) Calcule a norma dos vetores de ponto inicial P e ponto final Q.
a) P = (3,2), Q = (2,1)
b) P = (3,-7,2), Q = (-2,5,-4)
c) P = (1,4), Q = (3,2)
d) P = (1,2,3), Q = (4,5,6)
16) Encontre um vetor unitário u com o mesmo sentido de a, sendo a = (3,4).
17) Encontre um vetor unitário v com sentido contrário a b, sendo b = (1,2,4).
Vetores unitários canônicos 
	Considere os vetores 
 
 
Estes vetores têm cada um módulo 1 e estão sobre os eixos coordenados (de acordo com a figura). Eles são chamados vetores unitários canônicos do espaço tridimensional.
 
Cada vetor 
 pode ser escrito em termos de 
,
 e 
, pois 
 
 =
Por exemplo, 
 
Exemplo:
Escreva o vetor de componentes (2,3) em termos dos vetores unitários na direção x e y no plano. Represente graficamente.
Solução:
Exercícios:
18) Dados 
 e 
 em cada item calcule: 
.
a) 
 
b) 
19) Sendo 
, 
 e 
 calcule a expressão 
.
Produto escalar de vetores
Conceito
Sejam u e v dois vetores no espaço bi ou tridimensional e suponha que estes vetores foramposicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidem. Pelo ângulo entre u e v entende-se o ângulo 
 determinado por u e v que satisfaz 
, conforme figura abaixo.
 �
Definição:
Se 
e 
 são vetores no espaço bi ou tridimensional e 
 é o ângulo entre eles, então o produto escalar 
, ou produto interno, é definido por
 
Exemplo:
O ângulo entre os vetores 
 e 
 é de 45° Calcule 
Solução: 
 
 
Vetores ortogonais
Dois vetores 
e 
 são perpendiculares se o ângulo 
 entre eles é um ângulo reto, isto é, 
 radianos, ou 90°.
Assim 
, portanto 
	Isto motiva a seguinte definição:
 Dois vetores 
e 
 são ortogonais entre si se 
Produto escalar em termos de componentes
Para efeitos de cálculo, é desejável ter uma fórmula que dê o produto escalar de dois vetores em termos dos componentes do vetor.
Sendo dados 
 e 
, como calcular 
?
Temos:
Logo:
 
No entanto:
analogamente 
 
analogamente 
 
Assim: 
Logo:
Seja 
 e 
 dois vetores no espaço. O produto escalar entre 
 e 
, é dado por
 
Analogamente: 
Seja 
 e 
 dois vetores no plano. O produto escalar entre 
 e 
, é dado por
 
Exemplo:
Considere os vetores 
 e 
. Encontre 
.
Obtendo o ângulo entre vetores
Se 
 e 
 são vetores não-nulos, então podemos escrever
 
Exemplo:
Considere os vetores 
 e 
.
a) Encontre 
b) Determine o ângulo 
 entre 
 e 
Exemplo:
Considere os vetores 
 e 
.
a) Encontre 
b) Determine o ângulo 
 entre 
 e 
Exercícios:
20) Encontre 
a) 
 e 
 b) 
 e 
c) 
 e 
 d) 
 e 
.
21) Nos exercícios de a até b, calcule o ângulo entre os vetores:
a) 
b) 
Produto vetorial de vetores
Definição
O produto vetorial entre dois vetores 
, é outro vetor perpendicular ao plano formado por 
e 
,sendo a direção e o sentido deste, dados pela regra da mão-direita, de acordo com a figura:
�
O módulo de 
 é definido pela expressão
Exemplo:
Considere um elétron penetrando em uma região com campo magnético 
, como mostrado na figura.
A expressão que fornece a força sofrida pelo elétron ao penetrar no campo é dada por
 
 (onde q é a carga do elétron, 
é a velocidade e 
 é o campo magnético).
Em cada caso desenhe na figura o vetor 
 e calcule 
. Considere 
1, 
3,0x107m/s e 
1,5 
(Newton vezes segundo sobre metro) 
�� EMBED Equation.3 2,0
a)
 
 B1
b) 
 c) 
 
 B3
 B2 
Produto vetorial em termos de componentes
Sendo dados 
 e 
, como encontrar 
?
Temos:
Logo:
 
No entanto:
analogamente 
 
Observando as figuras e utilizando o fato que 
, podemos concluir que 
. 
 
Assim temos:
e 
 
Logo teremos:
 
Expressão que pode ser colocada na forma de determinante (“Simbólico”):
Exemplo:
Calcule o produto vetorial entre os vetores:
 
Exercícios:
22) Nos exercícios de a até c, use produto vetorial para encontrar um vetor não nulo 
, ortogonal a 
e 
. 
a) 
 = (3,2,1), 
= (4,1,3)
b) 
= (2,-1,3), 
= (5,1,-1)
c) 
= (3,4,5), 
= (1,2,3)
 Exercícios de Revisão 
1) Sendo 
 b) 
 c) 
 
a) Desenhe num mesmo sistema de coordenadas os vetores acima na posição padrão.
b) Desenhe num mesmo sistema de coordenadas os vetores acima com suas origens em (1,1).
c) Determine 
 e mostre como o resultado pode ser obtido geometricamente.
c) Determine 
e mostre como o resultado pode ser obtido geometricamente.
2) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem:
 
 
3) Sejam 
. Encontre os componentes de
4) Encontre as componentes do vetor de ponto inicial 
 e ponto final 
.
a) 
 b) 
c) 
 d) 
5) Dados a e b em cada item calcule: 
.
a) 
= (2,3), 
=(-1,-2)
b) 
 = 
+3
, 
= -2
-5
c) 
= (0,2,1), 
=(-1,1,1)
d) 
6) Encontre um vetor unitário 
com o mesmo sentido de 
e um vetor unitário 
com sentido oposto ao de 
.
7) Encontre 
a) 
 e 
 b) 
 e 
c) 
 e 
 d) 
 e 
.
8) Nos exercícios de a até b, calcule o ângulo entre os vetores:
a) 
b) 
9) Sejam p = (2,k) e q = (3,5). Encontre k tal que p e q são ortogonais.
10) Encontre todos os possíveis valores de k para os quais os dois vetores são ortogonais.
a) 
b) 
11) Encontre um vetor que é ortogonal a ambos 
e 
a) 
 e 
 
b) 
 e 
 
12) Sejam 
. 
 e 
 calcule 
a) 
b) 
APLICAÇÕES DE VETORES.
Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos 
 e 
 é a norma do vetor 
.
 e 
 no plano:
 
 e 
 no espaço tridimensional:
 
Exemplo:
Encontre a distância entre os pontos:
a) P (2,3) e Q=(5,4)
b) P (1,0,-5) e Q=(3,-2,4)
Cálculo de ângulos
Exemplo:
Encontre os ângulos internos do triângulo com vértices (0,-1), (1,-2) e (4,1).
Solução:
Um exemplo em física
Um bloco é puxado por uma força 
, se deslocando na direção 
. Qual a intensidade da força? Qual o valor da força na direção do deslocamento? e perpendicular ao deslocamento (força dada em Newton)? Qual o ângulo entre a força e a direção do deslocamento? Desenhe.
�
Intensidade da força: 
Força na direção do deslocamento 
: 
,e o bloco se desloca na direção 
, ou seja ao longo do eixo x, assim vemos que a força ao longo de x é de 2N. Que pode ser escrito como 
.
Valor da força perpendicular ao deslocamento: Como a direção perpendicular à direção do deslocamento está na direção do eixo y, pode também ser visto da expressão da força que 
 
.
Ângulo entre a força e a direção do deslocamento:Da figura vemos que o ângulo pode ser obtido de 
 
ou de 
Cálculo da área de um triângulo 
Recordemos que a área de um paralelogramo é dada por: 
 
Consideremos agora dois vetores com origens coincidentes, determinando um paralelogramo como na figura abaixo. Vimos que o módulo do produto vetorial entre eles será dado por
 
 �
Comparando as duas figuras podemos concluir que: o módulo do produto vetorial entre os dois vetores é igual a área do paralelogramo determinado por eles. Assim podemos escrever
 
onde S é a área do paralelogramo determinado pelos vetores 
 e 
.
Exemplo: Calcule a área do triângulocujos vértices são 
 A(2,1,-1), B(1,-1,0) e C(-1,1,2).
 �
Exercícios sobre aplicações:
1) Calcule a distância entre os pontos:
a) P1=(3,4), P2(5,7)
b) P1=(-3,6), P2(-1,-4)
c) P1=(7,-5,1), P2(-7,-2,-1)
d) P1=(3,3,3), P2(6,0,3)
2) Encontre os ângulos internos do triângulo com vértices (0,-1), (1,-2) e (4,1).
3) Encontre os três ângulos do triângulo com vértices A(1,1,1), B(3,-2,3) e C(3,4,6).
4) Encontre o ângulo entre a diagonal do cubo e uma de suas arestas adjacentes, de acordo com a figura
5) Um bloco é puxado por uma força 
, se deslocando na direção 
. Qual a intensidade da força? Qual o valor da força na direção do deslocamento? e perpendicular ao deslocamento (força dada em Newton)? Qual o ângulo entre a força e a direção do deslocamento? Desenhe.
6) Calcule a área do triângulo cujos vértices são 
 A(1,2,-1), B(3,-1,0) e C(-3,2,2).
7) Com relação a figura abaixo
resolva:
a) Encontre os ângulos dos vértices do triângulo 
b) Calcule a área do triângulo 
y
z
x
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
�
y
y
z
x
y
x
y
x
y
x
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ���
x
x
�
� EMBED Equation.3 ���
y
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
vers � EMBED Equation.3 ���
1
�
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
1
y
x
2
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
x
� EMBED Equation.3 ���
b
a
y
x
� EMBED Equation.3 ���
c
b
a
x
z
y
y
z
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
3
2
� EMBED Equation.3 ���
x
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
θ
u
v
θ
u
v
θ
u
v
θ
u
v
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
z
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
z
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
B(1,-2)
C(4,1)
A(0,-1)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
2
1
y
x
� EMBED Equation.3 ���
b
a
�PAGE �
�PAGE �39�
_1236257185.unknown
_1236496433.unknown
_1236510229.unknown
_1237380026.unknown
_1237397247.unknown
_1237444356.unknown
_1237532107.unknown
_1237533860.unknown
_1237534980.unknown
_1237537740.unknown
_1237539733.unknown
_1237544387.unknown
_1237544993.unknown
_1237559203.unknown
_1237559236.unknown
_1237558715.unknown
_1237544818.unknown
_1237544461.unknown
_1237540210.unknown
_1237540280.unknown
_1237540032.unknown
_1237540043.unknown
_1237538128.unknown
_1237538509.unknown
_1237539609.unknown
_1237538456.unknown
_1237537753.unknown
_1237536018.unknown
_1237536267.unknown
_1237536266.unknown
_1237535049.unknown
_1237535998.unknown
_1237534981.unknown
_1237534331.unknown
_1237534841.unknown
_1237534854.unknown
_1237534412.unknown
_1237534003.unknown
_1237534037.unknown
_1237533979.unknown
_1237533177.unknown
_1237533760.unknown
_1237533803.unknown
_1237533851.unknown
_1237533783.unknown
_1237533734.unknown
_1237533749.unknown
_1237533723.unknown
_1237532540.unknown
_1237532829.unknown
_1237532976.unknown
_1237532584.unknown
_1237532593.unknown
_1237532557.unknown
_1237532475.unknown
_1237532492.unknown
_1237532509.unknown
_1237532462.unknown
_1237530459.unknown
_1237531425.unknown
_1237531611.unknown
_1237531987.unknown
_1237532106.unknown
_1237531917.unknown
_1237531521.unknown
_1237531558.unknown
_1237531481.unknown
_1237531155.unknown
_1237531259.unknown
_1237531410.unknown
_1237531156.unknown
_1237530500.unknown
_1237531154.unknown
_1237530480.unknown
_1237459766.unknown
_1237463830.unknown
_1237530433.unknown
_1237530443.unknown
_1237472185.unknown
_1237472824.unknown
_1237462628.unknown
_1237463452.unknown
_1237463558.unknown
_1237462736.unknown
_1237460787.unknown
_1237447407.unknown
_1237459616.unknown
_1237459723.unknown
_1237456186.unknown
_1237456480.unknown
_1237444537.unknown
_1237446727.unknown
_1237446754.unknown
_1237446516.unknown
_1237444381.unknown
_1237441998.unknown
_1237443911.unknown
_1237444003.unknown
_1237444038.unknown
_1237444059.unknown
_1237444019.unknown
_1237443953.unknown
_1237443967.unknown
_1237443925.unknown
_1237442068.unknown
_1237443122.unknown
_1237443123.unknown
_1237443769.unknown
_1237442726.unknown
_1237442783.unknown
_1237442633.unknown
_1237442614.unknown
_1237442033.unknown
_1237442049.unknown
_1237397959.unknown
_1237441943.unknown
_1237441974.unknown
_1237441779.unknown
_1237441798.unknown
_1237441315.unknown
_1237441122.unknown
_1237397879.unknown
_1237397898.unknown
_1237397887.unknown
_1237397335.unknown
_1237380771.unknown
_1237388341.unknown
_1237388495.unknown
_1237397096.unknown
_1237388439.unknown
_1237388227.unknown
_1237388274.unknown
_1237380557.unknown
_1237380591.unknown
_1237380609.unknown
_1237380099.unknown
_1236511171.unknown
_1236511625.unknown
_1237379413.unknown
_1237379988.unknown
_1237379132.unknown
_1237379059.unknown
_1236511443.unknown
_1236511486.unknown
_1236511391.unknown
_1236510630.unknown
_1236511045.unknown
_1236511074.unknown
_1236511026.unknown
_1236510369.unknown
_1236510440.unknown
_1236510251.unknown
_1236507014.unknown
_1236507889.unknown
_1236509414.unknown
_1236510150.unknown
_1236510209.unknown
_1236509758.unknown
_1236508021.unknown
_1236508022.unknown
_1236507940.unknown
_1236507434.unknown
_1236507508.unknown
_1236507523.unknown
_1236507483.unknown
_1236507036.unknown
_1236507063.unknown
_1236507129.unknown
_1236507025.unknown
_1236499382.unknown
_1236500520.unknown
_1236500695.unknown
_1236506985.unknown
_1236500556.unknown
_1236500235.unknown
_1236500448.unknown
_1236500210.unknown
_1236499272.unknown
_1236499358.unknown
_1236499371.unknown
_1236499309.unknown
_1236497492.unknown
_1236497507.unknown
_1236496535.unknown
_1236338037.unknown
_1236344611.unknown_1236423899.unknown
_1236424668.unknown
_1236425401.unknown
_1236495932.unknown
_1236495999.unknown
_1236424708.unknown
_1236424009.unknown
_1236424596.unknown
_1236423968.unknown
_1236346103.unknown
_1236423819.unknown
_1236423862.unknown
_1236423470.unknown
_1236345943.unknown
_1236345966.unknown
_1236345928.unknown
_1236339552.unknown
_1236342125.unknown
_1236342156.unknown
_1236344601.unknown
_1236342215.unknown
_1236344588.unknown
_1236342139.unknown
_1236340112.unknown
_1236342113.unknown
_1236340579.unknown
_1236340094.unknown
_1236339631.unknown
_1236339735.unknown
_1236338197.unknown
_1236339488.unknown
_1236339489.unknown
_1236339073.unknown
_1236338142.unknown
_1236338166.unknown
_1236338094.unknown
_1236328822.unknown
_1236331126.unknown
_1236337674.unknown
_1236337819.unknown
_1236337863.unknown
_1236337787.unknown
_1236336865.unknown
_1236336907.unknown
_1236336830.unknown
_1236328977.unknown
_1236330818.unknown
_1236330917.unknown
_1236330722.unknown
_1236328899.unknown
_1236328962.unknown
_1236328841.unknown
_1236323841.unknown
_1236326053.unknown
_1236328523.unknown
_1236328546.unknown
_1236327788.unknown
_1236327923.unknown
_1236326840.unknown
_1236325892.unknown
_1236326052.unknown
_1236323995.unknown
_1236276193.unknown
_1236277391.unknown
_1236277511.unknown
_1236277364.unknown
_1236277244.unknown
_1236276158.unknown
_1236276171.unknown
_1236276037.unknown
_1216816846.unknown
_1236173146.unknown
_1236182363.unknown
_1236182978.unknown
_1236257048.unknown
_1236257155.unknown
_1236256775.unknown
_1236256800.unknown
_1236183011.unknown
_1236182390.unknown
_1236182678.unknown
_1236182455.unknown
_1236182677.unknown
_1236175507.unknown
_1236181434.unknown
_1236181470.unknown
_1236181693.unknown
_1236181412.unknown
_1236176437.unknown
_1236176479.unknown
_1236175524.unknown
_1236175165.unknown
_1236175491.unknown
_1236174771.unknown
_1236174861.unknown
_1236175127.unknown
_1236174804.unknown
_1236174453.unknown
_1236174687.unknown
_1236174385.unknown
_1236174358.unknown
_1236170463.unknown
_1236172898.unknown
_1236172976.unknown
_1236173133.unknown
_1236172940.unknown
_1236170580.unknown
_1236172694.unknown
_1236172844.unknown
_1236172600.unknown
_1236170536.unknown
_1236167696.unknown
_1236169557.unknown
_1236170462.unknown
_1236169301.unknown
_1224670253.unknown
_1236165136.unknown
_1236166257.unknown
_1236167253.unknown
_1236167254.unknown
_1236166488.unknown
_1230474185.unknown
_1230474621.unknown
_1230474723.unknown
_1230474475.unknown
_1224670276.unknown
_1224667888.unknown
_1224668073.unknown
_1224670231.unknown
_1224668601.unknown
_1224667889.unknown
_1217663693.unknown
_1217664042.unknown
_1217661334.unknown
_1217661378.unknown
_1217661395.unknown
_1217661363.unknown
_1216816870.unknown
_1211611999.unknown
_1211626253.unknown
_1216816102.unknown
_1216816642.unknown
_1216816711.unknown
_1216816811.unknown
_1216816668.unknown
_1216816290.unknown
_1216816358.unknown
_1216816333.unknown
_1216816229.unknown
_1216816267.unknown
_1216816202.unknown
_1211633623.unknown
_1211635907.unknown
_1211636197.unknown
_1211638097.unknown
_1211634336.unknown
_1211626605.unknown
_1211633260.unknown
_1211633526.unknown
_1211626676.unknown
_1211626461.unknown
_1211614464.unknown
_1211617082.unknown
_1211623710.unknown
_1211625720.unknown
_1211625745.unknown
_1211625156.unknown
_1211625215.unknown
_1211625343.unknown
_1211623793.unknown
_1211617326.unknown
_1211617521.unknown
_1211617190.unknown
_1211614950.unknown
_1211616804.unknown
_1211616805.unknown
_1211615769.unknown
_1211616709.unknown
_1211616761.unknown
_1211615792.unknown
_1211615018.unknown
_1211614494.unknown
_1211614251.unknown
_1211614384.unknown
_1211614270.unknown
_1211612135.unknown
_1211614058.unknown
_1211614133.unknown
_1211612286.unknown
_1211612106.unknown
_1211095456.unknown
_1211109921.unknown
_1211611606.unknown
_1211611946.unknown
_1211611990.unknown
_1211610231.unknown
_1211611388.unknown
_1211610025.unknown
_1211110080.unknown
_1211109748.unknown
_1211109885.unknown
_1211109821.unknown
_1211107530.unknown
_1211109242.unknown
_1211105442.unknown
_1211107454.unknown
_1211105370.unknown
_1208249507.unknown
_1211094056.unknown
_1208248642.unknown
_1208249428.unknown