Doceavo Semestre 1. Sean E y F dos conjuntos, ????: ???? → ???? una función, R una relación de equivalencia en F. Demostrar que la relación S definida ...

Doceavo Semestre 1. Sean E y F dos conjuntos, ????: ???? → ???? una función, R una relación de equivalencia en F. Demostrar que la relación S definida en E como ???????????? ↔ ????(????)????????(????) es una relación de equivalencia. Además, si ???? = ????(????), sea RA la relación R restringida a “A”. Encuentre una biyección en E/S y A/RA. Para demostrar que la relación S es una relación de equivalencia, debemos demostrar que satisface las tres propiedades de reflexividad, simetría y transitividad: Reflexividad: Para demostrar que S es reflexiva, debemos demostrar que para todo elemento x en E, x S x. Esto es cierto porque ϕ(x) R ϕ(x), ya que R es una relación de equivalencia en F. Por lo tanto, la relación S es reflexiva. Simetría: Para demostrar que S es simétrica, debemos demostrar que si xSy, entonces ySx. Supongamos que xSy. Entonces, ϕ(x) R ϕ(y), por definición de la relación S. Pero como R es una relación de equivalencia, entonces también se cumple que ϕ(y) R ϕ(x). Por lo tanto, ySx, y la relación S es simétrica. Transitividad: Para demostrar que S es transitiva, debemos demostrar que si xSy y ySz, entonces xSz. Supongamos que xSy y ySz. Entonces, ϕ(x) R ϕ(y) y ϕ(y) R ϕ(z), por definición de la relación S. Como R es una relación de equivalencia, se cumple que ϕ(x) R ϕ(z). Por lo tanto, xSz, y la relación S es transitiva. Por lo tanto, como la relación S satisface las tres propiedades de reflexividad, simetría y transitividad, se concluye que es una relación de equivalencia. Ahora, para encontrar una biyección entre E/S y A/RA, podemos definir una función f que tome cada clase de equivalencia [x]S en E/S y la asocie con la clase de equivalencia ϕ(x)RA en A/RA. Es decir, ????: ????/???? → ????/???????? ????([????]????) = ????(????)???????? Esta función es una biyección porque es una función inyectiva y sobreyectiva. Para demostrar que f es inyectiva, supongamos que f([x]S) = f([y]S), es decir, que ϕ(x)RA = ϕ(y)RA. Entonces, para cualquier elemento a en [x]S, se tiene que ϕ(a) R ϕ(x), y por lo tanto ϕ(a) R ϕ(y), lo que implica que aSb para algún elemento b en [y]S. Por lo tanto, [x]S = [y]S, y f es inyectiva. Para demostrar que f es sobreyectiva, supongamos que tenemos una clase de equivalencia [a]RA en A/RA. Entonces, podemos encontrar un elemento x en E tal que ϕ(x) = a, ya que A = ϕ(E). Por lo tanto, f([x]S) = ϕ(x)RA = [a]RA. Por lo tanto, f es sobreyectiva. Q,E,D f es una biyección entre E/S y A/RA.