Debemos demostrar que H es cerrado bajo la operación de grupo: Para ello, consideramos la lista de todos los elementos de H: ℎ1,ℎ2, … , ℎ????. Entonc...

Debemos demostrar que H es cerrado bajo la operación de grupo: Para ello, consideramos la lista de todos los elementos de H: ℎ1,ℎ2, … , ℎ????. Entonces, para cualquier par de elementos ℎ???? ,ℎ???? en H, también tenemos ℎ????ℎ???? en H, ya que ℎ???? ∗ ℎ???? también está en H según la hipótesis. Por lo tanto, todos los productos de elementos en H están en H, y H es cerrado bajo la operación de grupo.


b. Inversos: Si ???? está en H, entonces su inverso ????−1 también debe estar en H. Debemos demostrar que H contiene los inversos de todos sus elementos: Para ello, consideramos la lista de todos los elementos de H: ℎ1,ℎ2, … , ℎ????. Si alguno de los elementos de H es la identidad del grupo, entonces ya contiene su propio inverso. En caso contrario, como G es finito, no puede haber más de n-1 elementos distintos de ℎ1,ℎ2 ,… , ℎ????. Por lo tanto, hay algún elemento ℎ???? en la lista que es el inverso de otro elemento ℎ???? en la lista. Como ℎ???? y ℎ???? están en H, su producto ℎ???? ∗ ℎ???? es también un elemento de H y es igual a la identidad del grupo. Por lo tanto, ℎ???? es el inverso de ℎ????, y H contiene los inversos de todos sus elementos.
c. Identidad: La identidad del grupo está en H, ya que la identidad es un elemento del grupo y H es un subconjunto de G. Como H cumple las tres condiciones de subgrupo, concluimos que H es un subgrupo de G.