Efetue a antidiferenciação: ( ) 2 tan 2 cot 2x x dx+ .

Para resolver a integral dada, podemos simplificar a expressão primeiro. Vamos usar algumas identidades trigonométricas: tan^2(x) = sec^2(x) - 1 cot^2(x) = csc^2(x) - 1 Substituindo essas identidades na integral, temos: ∫ (sec^2(x) - 1)(csc^2(x) - 1) x dx Expandindo essa expressão, temos: ∫ (sec^2(x) csc^2(x) - sec^2(x) - csc^2(x) + 1) x dx Agora, podemos integrar termo a termo: ∫ sec^2(x) csc^2(x) x dx - ∫ sec^2(x) x dx - ∫ csc^2(x) x dx + ∫ x dx A integral de sec^2(x) csc^2(x) é tangente(x) - cotangente(x) + C, onde C é a constante de integração. A integral de sec^2(x) é tangente(x) + C. A integral de csc^2(x) é -cotangente(x) + C. A integral de x é (1/2)x^2 + C. Portanto, a antidiferenciação da expressão dada é: tangente(x) - cotangente(x) - tangente(x) - cotangente(x) + (1/2)x^2 + C Simplificando, temos: -2cotangente(x) - 2tangente(x) + (1/2)x^2 + C Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.