A região do primeiro quadrante, limitada pelos eixos coordenados, pela reta 1y = e pela curva coty gx= , faz uma rotação em torno do eixo x . Ache ...

Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região do primeiro quadrante, limitada pelos eixos coordenados, pela reta y = 1 e pela curva y = cot(x), em torno do eixo x, podemos utilizar o método do disco ou do cilindro. Vamos considerar um elemento de área infinitesimal dA na região. Ao girar esse elemento em torno do eixo x, ele gera um disco de raio y e espessura dx. O volume desse disco é dado por dV = πy²dx. Agora, precisamos determinar os limites de integração para x e y. A reta y = 1 intercepta o eixo x em x = 0, e a curva y = cot(x) intercepta o eixo x em x = π/2. Além disso, a curva y = cot(x) está acima do eixo x no intervalo [0, π/2]. Portanto, o volume do sólido gerado é dado pela integral definida: V = ∫[0,π/2] πy²dx Para encontrar y em função de x, podemos utilizar a identidade trigonométrica cot(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x). Assim, y = cot(x) = cos(x)/sin(x). Substituindo y na integral, temos: V = ∫[0,π/2] π(cos(x)/sin(x))²dx Simplificando a expressão, temos: V = ∫[0,π/2] πcos²(x)/sin²(x)dx Agora, podemos utilizar uma identidade trigonométrica para simplificar ainda mais a expressão. A identidade é: cos²(x)/sin²(x) = cot²(x) Substituindo na integral, temos: V = ∫[0,π/2] πcot²(x)dx A integral de cot²(x) é -cot(x), então temos: V = -π[cot(x)]|[0,π/2] Avaliando nos limites de integração, temos: V = -π[cot(π/2) - cot(0)] cot(π/2) = 0 e cot(0) = ∞, então temos: V = -π[0 - ∞] Como temos uma diferença infinita, o volume do sólido gerado é infinito. Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação da região descrita é infinito.