uestão 3. [2,5 pontos] Prove que: (a) [1,25 pontos] Para todos inteiros n e m, se n − m é par então n 3 − m3 é par. (b) [1,25 pontos] A soma de qua...

(a) Para provar que se n - m é par, então n^3 - m^3 é par, podemos utilizar a propriedade de paridade dos números. Se n - m é par, isso significa que n e m têm a mesma paridade, ou seja, ambos são pares ou ambos são ímpares. Se n e m são pares, podemos escrevê-los como n = 2k e m = 2l, onde k e l são inteiros. Substituindo esses valores na expressão n^3 - m^3, temos: n^3 - m^3 = (2k)^3 - (2l)^3 = 8k^3 - 8l^3 = 8(k^3 - l^3) Podemos ver que 8 é um número par, e k^3 - l^3 é um número inteiro. Portanto, n^3 - m^3 é par. Se n e m são ímpares, podemos escrevê-los como n = 2k + 1 e m = 2l + 1, onde k e l são inteiros. Substituindo esses valores na expressão n^3 - m^3, temos: n^3 - m^3 = (2k + 1)^3 - (2l + 1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 - (8l^3 + 12l^2 + 6l + 1) = 8(k^3 - l^3) + 12(k^2 - l^2) + 6(k - l) Podemos ver que 8(k^3 - l^3) é par, pois é múltiplo de 8. Além disso, 12(k^2 - l^2) e 6(k - l) são múltiplos de 2, portanto também são pares. Somando números pares, obtemos um número par. Portanto, n^3 - m^3 é par. Assim, provamos que se n - m é par, então n^3 - m^3 é par. (b) Para provar que a soma de quatro números inteiros consecutivos não é divisível por 4, podemos utilizar a propriedade de paridade dos números. Seja o primeiro número dessa sequência de quatro números consecutivos representado por n. Podemos escrever os quatro números consecutivos como n, n+1, n+2 e n+3. Se somarmos esses números, temos: n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 Podemos ver que 4n é divisível por 4, pois é um múltiplo de 4. Além disso, 6 é divisível por 2, mas não por 4. Portanto, a soma de quatro números inteiros consecutivos não é divisível por 4. Assim, provamos que a soma de quatro números inteiros consecutivos não é divisível por 4.