Calcule o gradiente e a matriz Hessiana de cada uma das funções seguintes: a) f(x, y) = xarctan(y)

Para calcular o gradiente da função f(x, y) = xarctan(y), precisamos calcular as derivadas parciais em relação a x e y. A derivada parcial em relação a x é dada por: ∂f/∂x = arctan(y) A derivada parcial em relação a y é dada por: ∂f/∂y = x / (1 + y^2) A matriz Hessiana é uma matriz que contém as derivadas parciais de segunda ordem da função. Para calcular a matriz Hessiana, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a x e y. A derivada parcial de segunda ordem em relação a x é: ∂^2f/∂x^2 = 0 A derivada parcial de segunda ordem em relação a y é: ∂^2f/∂y^2 = -2xy / (1 + y^2)^2 A derivada parcial de segunda ordem cruzada é: ∂^2f/∂x∂y = 1 / (1 + y^2) Portanto, o gradiente da função f(x, y) = xarctan(y) é dado por (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (arctan(y), x / (1 + y^2)) e a matriz Hessiana é dada por: H = | ∂^2f/∂x^2 ∂^2f/∂x∂y | | ∂^2f/∂x∂y ∂^2f/∂y^2 | H = | 0 1 / (1 + y^2) | | 1 / (1 + y^2) -2xy / (1 + y^2)^2 |