Mostrar que a equação dy/dx = y−4x/(x−y) não é separável, mas se a variável y for substitúıda por uma nova variável v, definida por v = y/x...

Para mostrar que a equação dy/dx = (y - 4x)/(x - y) não é separável, podemos tentar reescrevê-la na forma separável e verificar se isso é possível. Vamos começar reescrevendo a equação: dy/dx = (y - 4x)/(x - y) Multiplicando ambos os lados da equação por (x - y), obtemos: (x - y) dy = (y - 4x) dx Agora, vamos tentar separar as variáveis, isolando dy de um lado e dx do outro: (x - y) dy = (y - 4x) dx dy = (y - 4x)/(x - y) dx No entanto, percebemos que a equação ainda não está completamente separada, pois a variável y aparece tanto no numerador quanto no denominador do lado direito da equação. Agora, vamos substituir a variável y por uma nova variável v, definida como v = y/x. Para isso, precisamos encontrar uma expressão para dy em termos de dx e dv. Podemos derivar a expressão v = y/x em relação a x usando a regra do quociente: dv/dx = (1/x)dy/dx - y/x^2 Agora, vamos substituir dy/dx na equação original pela expressão que encontramos para dv/dx: dy/dx = (x - y)/(y - 4x) = (x - y)/(y - 4x) * (x/x) = (x - y)/(y - 4x) * (x/x) * (1/x) = (x - y)/(y - 4x) * (x/x^2) = (x - y)/(y - 4x) * (1/v) Substituindo dy/dx por (x - y)/(y - 4x) * (1/v) na equação original, obtemos: (x - y)/(y - 4x) * (1/v) = (y - 4x)/(x - y) Agora, podemos multiplicar ambos os lados da equação por (y - 4x) * v para separar as variáveis: (x - y) * v = (y - 4x) * (1/v) * (y - 4x) * v (x - y) * v = (y - 4x)^2 Agora, a equação está separada em x e v. Podemos integrar ambos os lados em relação a x para encontrar a solução da equação nesta forma. Espero que isso ajude! Se você tiver mais dúvidas, é só perguntar.