(Valor: 3,0 pontos) Considere um sistema linear invariante no tempo, cuja função de transferência é dada por: G(s) = Y (s) U(s) = (s+ 1) (s− 1)...

(a) Para obter uma realização controlável e observável de G(s), podemos utilizar a forma canônica controlável-observável. Primeiro, vamos escrever a função de transferência G(s) na forma de frações parciais: G(s) = (s + 1) / [(s - 1)(s + 4)] Agora, podemos escrever a matriz de estado A, o vetor de entrada B, o vetor de saída C e a matriz de observação D: A = [[-1, -4], [1, 0]] B = [[1], [0]] C = [[1, 0]] D = 0 Essa é uma realização de G(s) que é controlável e observável. (b) Utilizando a realização obtida no item (a), podemos projetar uma realimentação de estado u(t) = -Kx(t) + r(t) para que a função de transferência em malha fechada seja Gmf(s) = Y(s) / R(s) = 1 / (s + 4). Para isso, precisamos encontrar a matriz de ganho K. Podemos utilizar o método de colocação de polos para determinar os polos desejados da função de transferência em malha fechada. Neste caso, queremos que o polo esteja em s = -4. Calculando os autovalores da matriz A, temos: λ1 = -2 λ2 = -3 Agora, podemos utilizar a fórmula de Ackermann para encontrar a matriz de ganho K: K = [k1, k2] = [C * inv(A) * B, 0] Substituindo os valores, temos: K = [1, 2] Dessa forma, a realimentação de estado u(t) = -Kx(t) + r(t) irá projetar a função de transferência em malha fechada Gmf(s) = 1 / (s + 4).