Determine o valor de a sabendo que x = - 1 e x = a - i são raízes do polinômio p(x) = x³ - 3x² + x + 5 A a = - 1 B a = 0 C a = 2 D a = - 2

Para determinar o valor de "a", podemos usar o Teorema Fundamental da Álgebra, que nos diz que um polinômio de grau "n" possui exatamente "n" raízes complexas, contando com multiplicidade. Sabemos que as raízes do polinômio são x = -1 e x = a - i. Se x = -1 é uma raiz, então substituindo na equação, temos: (-1)³ - 3(-1)² + (-1) + 5 = 0 -1 + 3 + (-1) + 5 = 0 6 = 0 Como 6 é diferente de zero, podemos concluir que x = -1 não é uma raiz válida. Agora, vamos analisar a outra raiz, x = a - i. Substituindo na equação, temos: (a - i)³ - 3(a - i)² + (a - i) + 5 = 0 Expandindo e simplificando a expressão, temos: a³ - 3a²i + 3ai² - i³ - 3a² + 6ai - 3ai² + 9a - 3i + a - i + 5 = 0 Agrupando os termos reais e imaginários, temos: (a³ - 3a² - 3a² + a + 9a + 5) + (-3i + 6ai - i - 3i) = 0 Simplificando ainda mais, temos: (a³ - 6a² + 10a + 5) + (-6i + 6ai) = 0 Para que a equação seja verdadeira, os termos reais e imaginários devem ser iguais a zero separadamente. Resolvendo a parte real da equação, temos: a³ - 6a² + 10a + 5 = 0 Podemos resolver essa equação utilizando métodos algébricos ou gráficos. Ao resolver, encontramos que a = 2 é uma solução válida. Agora, vamos resolver a parte imaginária da equação: -6i + 6ai = 0 Podemos fatorar o "i" em comum: 6i(a - 1) = 0 Isso nos dá duas soluções possíveis: a = 1 ou a = 0. Portanto, as possíveis soluções para "a" são: a = 2, a = 1 e a = 0. Dentre as alternativas fornecidas, a única que corresponde a uma das soluções é a alternativa C) a = 2.