Renato e Alice fazem parte de um grupo de 8 pessoas que serão colocadas, ao acaso, em fila. Calcule a probabilidade de haver exatamente 4 pessoas e...

Para calcular a probabilidade de haver exatamente 4 pessoas entre Renato e Alice na fila que será formada, podemos considerar que Renato e Alice ocupam duas posições fixas na fila. Assim, temos que escolher 4 pessoas entre as 6 restantes para ocupar as posições entre Renato e Alice, o que pode ser feito de 6 escolha 4 maneiras. Além disso, as 4 pessoas escolhidas podem ser permutadas entre si de 4! maneiras. As outras duas pessoas que sobraram podem ocupar as duas posições restantes de 2! maneiras. Portanto, a probabilidade de haver exatamente 4 pessoas entre Renato e Alice na fila é dada por: P = (6 escolha 4) x 4! x 2! / 8! P = 15 x 24 x 2 / 40320 P = 0,02222 (aproximadamente) Para generalizar a fórmula, podemos considerar que m pessoas serão colocadas entre Renato e Alice na fila. Assim, temos que escolher m pessoas entre as 6 restantes para ocupar as posições entre Renato e Alice, o que pode ser feito de 6 escolha m maneiras. Além disso, as m pessoas escolhidas podem ser permutadas entre si de m! maneiras. As outras duas pessoas que sobraram podem ocupar as duas posições restantes de 2! maneiras. Portanto, a probabilidade de haver exatamente m pessoas entre Renato e Alice na fila é dada por: P(m) = (6 escolha m) x m! x 2! / 8! P(m) = (6! / (m! x (6 - m)!)) x m! x 2! / 8! P(m) = (3 x 4 x 5 / (8 x (8 - 1) x (8 - 2) x ... x (8 - m + 1))) x m! / 8! P(m) = (5 x 3^(m-1) / 2^(m+1) x (8 - m)!) x m! / 8! Portanto, a fórmula geral para o cálculo da probabilidade do problema descrito acima com o mesmo grupo de “8 pessoas”, trocando “4 pessoas” por “m pessoas”, em que 1 ≤ m ≤ 6, é dada por: P(m) = (5 x 3^(m-1) / 2^(m+1) x (8 - m)!) x m! / 8!