Resolva a equação diferencial exata abaixo: (x+y-1)dx + (x-y²+3)dy=0 a. x²/2 + xy - x- 4y³/3 + 6y = C b. x²/2 + xy - x- y³/3 + 3y = C c. x² + 3xy -...

Para resolver a equação diferencial exata, é necessário verificar se a equação é exata, ou seja, se a condição de exatidão é satisfeita. A condição de exatidão é dada por: ∂Q/∂x = ∂P/∂y Onde P e Q são as funções que multiplicam dx e dy, respectivamente. No caso da equação dada, temos: P = x + y - 1 Q = x - y² + 3 Calculando as derivadas parciais de P e Q em relação a y e x, respectivamente, temos: ∂Q/∂y = -2y ∂P/∂x = 1 Como ∂Q/∂y ≠ ∂P/∂x, a equação não é exata. Para torná-la exata, é necessário multiplicar a equação por um fator integrante μ(x,y), que é dado por: μ(x,y) = e^(∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y)/Q dx) μ(x,y) = e^(∫(-2y-1)/(x-y²+3) dx) μ(x,y) = e^(-2∫y dx - ∫dx/(x-y²+3) dx) μ(x,y) = e^(-2xy - ln|x-y²+3|) μ(x,y) = e^(-2xy) / |x-y²+3| Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante μ(x,y), temos: e^(-2xy) / |x-y²+3| (x+y-1)dx + e^(-2xy) / |x-y²+3| (x-y²+3)dy = 0 Agora, é necessário verificar se a equação é exata. Calculando as derivadas parciais de e^(-2xy) / |x-y²+3| (x-y²+3) em relação a y e x, respectivamente, temos: ∂Q/∂y = e^(-2xy) / |x-y²+3| (-2x+2y(x-y²+3)/(x-y²+3)²) ∂P/∂x = e^(-2xy) / |x-y²+3| (-2x+2y(x-y²+3)/(x-y²+3)²) Como ∂Q/∂y = ∂P/∂x, a equação é exata. Portanto, podemos encontrar a solução da equação integrando a função P em relação a x e encontrando a constante C: ∫Pdx = x²/2 + xy - x Agora, é necessário encontrar a função f(y) integrando a função Q em relação a y: ∫Qdy = x*y - y³/3 + 3y A solução geral da equação diferencial é dada por: x²/2 + xy - x- y³/3 + 3y = C Portanto, a alternativa correta é a letra c.