-O estudo da derivação parcial permite que estendamos os conceitos estudados no Cálculo Diferencial e Integral para duas dimensões, para o espaço t...

Podemos analisar cada uma das sentenças: I- f(x,y) é diferenciável em todos os pontos do plano. Verdadeiro. A função é uma combinação linear de funções diferenciáveis, portanto, é diferenciável em todos os pontos do plano. II- A soma de suas derivadas parciais é 2x - 6y. Verdadeiro. As derivadas parciais de f(x,y) são f_x(x,y) = 2x e f_y(x,y) = -6y. A soma dessas derivadas é 2x - 6y. III- A soma de suas derivadas parciais é x² - y². Falso. A soma das derivadas parciais é 2x - 6y, e não x² - y². IV- O limite da função quando (x,y) tende a (0,0) é zero. Verdadeiro. Podemos verificar isso usando a definição de limite. Quando (x,y) tende a (0,0), temos que f(x,y) = x² - 3y² tende a zero. Portanto, o limite da função quando (x,y) tende a (0,0) é zero. Portanto, as sentenças I, II e IV são verdadeiras, e a sentença III é falsa.