Encontre a derivada direcional da função 22 xyyx)y,x(f += no ponto P0 = (1, -1 ), na direção da reta normal ao círculo 222 Ryx =+ , no ponto  ...

Para encontrar a derivada direcional da função f(x,y) no ponto P0 = (1,-1) na direção da reta normal ao círculo 2x² + 2y² = 2, no ponto (2,2), podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o vetor gradiente da função f(x,y) no ponto P0: grad(f) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2xy + y², x² + 2xy) Substituindo as coordenadas do ponto P0, temos: grad(f)(1,-1) = (2(-1) + (-1)², 1² + 2(-1)) = (-3, -1) 2. Encontrar o vetor normal ao círculo no ponto (2,2): Para isso, podemos encontrar o vetor gradiente da função g(x,y) = 2x² + 2y² - 2 no ponto (2,2): grad(g) = (4x, 4y) = (8, 8) Substituindo as coordenadas do ponto (2,2), temos: grad(g)(2,2) = (8, 8) Como o vetor gradiente é perpendicular às curvas de nível da função, ele é normal ao círculo no ponto (2,2). Portanto, o vetor normal é dado por: n = (8, 8) 3. Encontrar a derivada direcional: A derivada direcional da função f(x,y) no ponto P0 na direção do vetor n é dada por: D_vf(P0) = grad(f)(P0) . v = ||grad(f)(P0)|| ||v|| cos(theta) Onde v é o vetor unitário na direção de n e theta é o ângulo entre os vetores grad(f)(P0) e v. Para encontrar v, basta normalizar o vetor n: v = n/||n|| = (1/√2, 1/√2) O ângulo entre os vetores pode ser encontrado usando o produto escalar: grad(f)(P0) . v = (-3, -1) . (1/√2, 1/√2) = (-4/√2) ||grad(f)(P0)|| = √((-3)² + (-1)²) = √10 ||v|| = √((1/√2)² + (1/√2)²) = 1 Substituindo na fórmula da derivada direcional, temos: D_vf(P0) = (-4/√2) / (√10) = -2√2/5 Portanto, a derivada direcional da função f(x,y) no ponto P0 na direção da reta normal ao círculo 2x² + 2y² = 2, no ponto (2,2), é igual a -2√2/5.