Usando o Método de Substituição, calcule as integrais abaixo. a) ( ) ( )∫ ++ dxx2xcos2x3 32 b) ∫ ⋅ dxxsenxcos2 c) ∫ + + dx x3x 1x 3 2 d) ∫ d...

a) Para resolver a integral ∫(x²cos²(3x))/32 dx, podemos fazer a substituição u = 3x, logo du/dx = 3 e dx = du/3. Substituindo na integral, temos: ∫(x²cos²(3x))/32 dx = (1/32) ∫(u/3)²cos²(u) du = (1/32) ∫(u²/9)cos²(u) du Agora, podemos utilizar a fórmula de redução de potência para o cosseno: cos²(u) = (1 + cos(2u))/2. Substituindo na integral, temos: (1/32) ∫(u²/9)cos²(u) du = (1/32) ∫(u²/9)(1 + cos(2u))/2 du = (1/64) ∫u² du + (1/576) ∫u²cos(2u) du Integrando u², temos: (1/64) ∫u² du = u³/192. Integrando u²cos(2u), podemos fazer uma nova substituição v = 2u, logo dv/du = 2 e du = dv/2. Substituindo na integral, temos: (1/576) ∫u²cos(2u) du = (1/576) ∫(v²/8)cos(v) dv = (1/4608) ∫v²cos(v) dv Agora, podemos utilizar a fórmula de integração por partes, fazendo u = v² e dv = cos(v) dv. Temos: (1/4608) ∫v²cos(v) dv = (1/4608) [v²sen(v) - 2vcos(v) + 2∫vsen(v) dv] = (1/4608) [v²sen(v) - 2vcos(v) - 2vsen(v) + 2cos(v)] + C Substituindo de volta as variáveis, temos: ∫(x²cos²(3x))/32 dx = (1/192) (3x)³ + (1/4608) [2(3x)sen(6x) - 6xcos(6x) - 6(3x)sen(6x) + 2cos(6x)] + C Simplificando, temos: ∫(x²cos²(3x))/32 dx = (9x³/192) + (1/2304) [sen(6x) - 3xcos(6x)] + C b) Para resolver a integral ∫xsen(x)cos²(x) dx, podemos fazer a substituição u = sen(x), logo du/dx = cos(x) e dx = du/cos(x). Substituindo na integral, temos: ∫xsen(x)cos²(x) dx = ∫u(1 - u²) du = ∫u - u³ du Integrando, temos: ∫u - u³ du = (u²/2) - (u⁴/4) + C Substituindo de volta as variáveis, temos: ∫xsen(x)cos²(x) dx = (sen²(x)/2) - (sen⁴(x)/4) + C c) Para resolver a integral ∫(x³ + 1)/(x⁴ + 2x² + 1) dx, podemos fazer a substituição u = x², logo du/dx = 2x e dx = du/(2x). Substituindo na integral, temos: ∫(x³ + 1)/(x⁴ + 2x² + 1) dx = (1/2) ∫(u + 1)/(u² + 2u + 1) du Agora, podemos completar o quadrado no denominador: u² + 2u + 1 = (u + 1)². Substituindo na integral, temos: (1/2) ∫(u + 1)/(u² + 2u + 1) du = (1/2) ∫(A/(u + 1)) + (B/(u + 1)²) du Onde A e B são constantes a serem determinadas. Multiplicando ambos os lados por (u + 1)², temos: (u + 1) = A(u + 1) + B Substituindo u = -1, temos: 0 = B Substituindo B = 0 na equação anterior, temos: u + 1 = A(u + 1) Simplificando, temos: 1 = A Substituindo A = 1 na integral, temos: (1/2) ∫(u + 1)/(u² + 2u + 1) du = (1/2) ∫(1/(u + 1)) du = (1/2) ln|u + 1| + C Substituindo de volta as variáveis, temos: ∫(x³ + 1)/(x⁴ + 2x² + 1) dx = (1/2) ln|x² + 1| + C d) Para resolver a integral ∫xcos(x)sen³(3x/4) dx, podemos fazer a substituição u = 3x/4, logo du/dx = 3/4 e dx = 4/3 du. Substituindo na integral, temos: ∫xcos(x)sen³(3x/4) dx = (4/3) ∫(4u/3)cos(4u/3)sen³(u) du Agora, podemos utilizar a fórmula de redução de potência para o seno: sen³(u) = (3sen(u) - sen(3u))/4. Substituindo na integral, temos: (4/3) ∫(4u/3)cos(4u/3)sen³(u) du = (4/3) ∫(4u/3)cos(4u/3)(3sen(u) - sen(3u))/4 du = (1/3) ∫4u cos(4u/3)sen(u) du - (1/3) ∫4u cos(4u/3)sen(3u) du Agora, podemos utilizar a fórmula de integração por partes, fazendo u = sen(u) e dv = 4u cos(4u/3) du. Temos: (1/3) ∫4u cos(4u/3)sen(u) du = (1/3) [4u (-4/3)cos(4u/3)sen(u) - ∫(-4/3)cos(4u/3)cos(u) du] = (-4/9)u cos(4u/3)sen(u) - (1/9) ∫cos(4u/3)cos(u) du Agora, podemos utilizar a fórmula de redução de produto para o cosseno: cos(a)cos(b) = (cos(a + b) + cos(a - b))/2. Substituindo na integral, temos: (1/9) ∫cos(4u/3)cos(u) du = (1/18) ∫cos(7u/3) du + (1/18) ∫cos(u/3) du Integrando, temos: (1/18) ∫cos(7u/3) du = (3/14)sen(7u/3) (1/18) ∫cos(u/3) du = (3/18)sen(u/3) Substituindo de volta as variáveis, temos: ∫xcos(x)sen³(3x/4) dx = (-4/27)x cos(4x/3)sen(x) - (1/126)sen(7x/3) - (1/54)sen(x/3) + C e) Para resolver a integral ∫(2ln(x))/(x²) dx, podemos fazer a substituição u = ln(x), logo du/dx = 1/x e dx = x du. Substituindo na integral, temos: ∫(2ln(x))/(x²) dx = ∫(2u)/(e²u) du Agora, podemos integrar diretamente, utilizando a regra da potência: ∫(2u)/(e²u) du = (-1/2)e^-2u + C Substituindo de volta as variáveis, temos: ∫(2ln(x))/(x²) dx = (-1/2)(1/x²) + C f) Para resolver a integral ∫(cos(x))/(x tan(x/2)) dx, podemos fazer a substituição u = x/2, logo du/dx = 1/2 e dx = 2 du. Substituindo na integral, temos: ∫(cos(x))/(x tan(x/2)) dx = 2 ∫(cos(2u))/(2u tan(u)) du Agora, podemos utilizar a fórmula de redução de produto para a tangente: tan(a)tan(b) = (1 - cos(a + b))/(cos(a)cos(b)). Substituindo na integral, temos: 2 ∫(cos(2u))/(2u tan(u)) du = 2 ∫(cos(2u))/(2u (1 - cos(u))) du = ∫(1/u) - (cos(u)/u²) du Agora, podemos integrar diretamente: ∫(1/u) - (cos(u)/u²) du = ln|u| + (1/u) + C Substituindo de volta as variáveis, temos: ∫(cos(x))/(x tan(x/2)) dx = ln|x| + (2/x) + C g) Para resolver a integral ∫e^(cot(x))cot(x) dx, podemos fazer a substituição u = cot(x), logo du/dx = -csc²(x) e dx = -du/(u² + 1). Substituindo na integral, temos: ∫e^(cot(x))cot(x) dx = -∫e^u du = -e^u + C Substituindo de volta as variáveis, temos: ∫e^(cot(x))cot(x) dx = -e^(cot(x)) + C h) Para resolver a integral ∫(3x - 7)/(x³) dx, podemos fazer a substituição u = x³, logo du/dx = 3x² e dx = du/(3x²). Substituindo na integral, temos: ∫(3x - 7)/(x³) dx = (1/3) ∫(3u - 21)/u du = (1/3) ∫(3/u) - (21/u²) du Agora, podemos integrar diretamente: (1/3) ∫(3/u) - (21/u²) du = (1/3) [3ln|u| + (21/u)] + C Substituindo de volta as variáveis, temos: ∫(3x - 7)/(x³) dx = ln|x³| - (7/3x²) + C i) Para resolver a integral ∫(x + 1)/(x² + 4x + 4) dx, podemos fazer a substituição u = x + 2, logo du/dx = 1 e dx = du. Substituindo na integral, temos: ∫(x + 1)/(x² + 4x + 4) dx = ∫(u - 1)/u² du Agora, podemos integrar diretamente: ∫(u - 1)/u² du = -1/u + ln|u| + C Substituindo de volta as variáveis, temos: ∫(x + 1)/(x² + 4x + 4) dx = -1/(x + 2) + ln|x + 2| + C j) Para resolver a integral ∫(x + 1)/(x² + x) dx, podemos fazer a substituição u = x + 1/2, logo du/dx = 1 e dx = du. Substituindo na integral, temos: ∫(x + 1)/(x² + x) dx = ∫(u - 1/2)/(u² - 1/4) du Agora, podemos utilizar a fórmula de integração por frações parciais, fazendo: (u - 1/2)/(u² - 1/4) = A/(u - 1/2) + B/(u + 1/2) Multiplicando ambos os lados por (u - 1/2)(u + 1/2), temos: u - 1/2 = A(u + 1/2) + B(u - 1/2) Substituindo u = 1/2, temos: 0 = A(1) + B(0) A = 0 Substituindo u = -1/2, temos: -1 = A(0) + B(-1) B = 1 Substituindo A e B na equação de frações parciais, temos: (u - 1/2)/(u² - 1/4) = 1/(2(u + 1/2)) Substituindo na integral, temos: ∫(u - 1/2)/(u² - 1/4) du = (1/2) ln|u + 1/2| + C Substituindo de volta as variáveis, temos: ∫(x + 1)/(x² + x) dx = (1/2) ln|x + 1| - (1/2) ln|x| + C