Calcule o comprimento de arco das curvas dadas abaixo, nos intervalos indicados. a) 3x^2 + 3y^2 = 2, 0 ≤ x ≤ 1 b) 8x^2 + 7y^2 = 32, 0 ≤ x ≤ 2 c) 8x...

Para calcular o comprimento de arco das curvas, podemos utilizar a fórmula: L = ∫a^b √(1 + [f'(x)]^2) dx Onde f'(x) é a derivada da função em relação a x. a) 3x^2 + 3y^2 = 2, 0 ≤ x ≤ 1 Derivando implicitamente a equação em relação a x, temos: 6x + 6y y' = 0 y' = -x/y Substituindo na fórmula, temos: L = ∫0^1 √(1 + [(-x/y)]^2) dx L = ∫0^1 √(1 + x^2/3) dx L = (3/2)∫0^1 √(9/4 + x^2) dx L = (3/2)[(1/3)(9/4)(sinh^-1(2/3) + (2/3)(√13/2))] L = (1/2)(3sinh^-1(2/3) + √13) Portanto, o comprimento de arco da curva é (1/2)(3sinh^-1(2/3) + √13). b) 8x^2 + 7y^2 = 32, 0 ≤ x ≤ 2 Derivando implicitamente a equação em relação a x, temos: 16x + 14y y' = 0 y' = -8x/7y Substituindo na fórmula, temos: L = ∫0^2 √(1 + [(-8x/7y)]^2) dx L = ∫0^2 √(1 + 64x^2/49(32 - 8x^2)) dx L = (8/7)∫0^2 √(1 + 4x^2/7(4 - x^2)) dx L = (8/7)[(1/2)(4 - x^2)^(3/2) + 2sin^-1(2x/√(28 - 2x^2))]_0^2 L = (8/7)(8^(3/2) - 2^(3/2) + 2sin^-1(4/√20)) L = (8/7)(8^(3/2) - 2^(3/2) + sin^-1(2/√5)) Portanto, o comprimento de arco da curva é (8/7)(8^(3/2) - 2^(3/2) + sin^-1(2/√5)). c) 8x = 3, x ≤ ln(y), y ≥ 1 Derivando implicitamente a equação em relação a x, temos: 8 = y y' y' = 8/y Substituindo na fórmula, temos: L = ∫1^e √(1 + [8/y]^2) dy L = ∫1^e √(1 + 64/y^2) dy L = [y√(1 + 64/y^2) + 8ln(y)]_1^e L = e√(1 + 64/e^2) + 8ln(e) - √65 Portanto, o comprimento de arco da curva é e√(1 + 64/e^2) + 8 - √65. d) x = 4/6, x ≤ ln(sen(yπ/2)), y ≥ 1 Derivando implicitamente a equação em relação a y, temos: 0 = (π/2)cos(yπ/2) sec(yπ/2) y' y' = 0 Substituindo na fórmula, temos: L = ∫1^∞ √(1 + [0]^2) dy L = ∫1^∞ 1 dy L = ∞ Portanto, o comprimento de arco da curva é infinito.