Questão 8 [1,0 pto]: Calcule ∫ p 2x +1d x. Calcule ∫ p 2x +1d x.

Para calcular a integral ∫ √(2x+1) dx, podemos fazer a substituição trigonométrica x = (cos²θ - 1)/2, que nos leva a dx = cosθ senθ dθ e 2x + 1 = cos²θ. Substituindo na integral, temos: ∫ √(2x+1) dx = ∫ √(cos²θ) cosθ senθ dθ = ∫ cos²θ senθ dθ Podemos usar a identidade trigonométrica cos²θ = (1 + cos2θ)/2 para reescrever a integral como: ∫ cos²θ senθ dθ = ∫ (1 + cos2θ)/2 senθ dθ = 1/2 ∫ senθ dθ + 1/2 ∫ cos2θ senθ dθ A primeira integral é simples de calcular, resultando em -cosθ/2. Para a segunda integral, podemos fazer uma nova substituição trigonométrica, u = cosθ, du = -senθ dθ, e reescrever cos2θ em termos de u: ∫ cos2θ senθ dθ = -∫ u² du = -u³/3 + C = -cos³θ/3 + C Substituindo de volta para x e θ, temos: ∫ √(2x+1) dx = -1/2 cosθ - 1/6 cos³θ + C = -1/2 √(2x+1) - 1/6 (2x+1)√(2x+1) + C Portanto, a resposta é: ∫ √(2x+1) dx = -1/2 √(2x+1) - 1/6 (2x+1)√(2x+1) + C