18) Suponha que as funções diferenciáveis y = y(x) e z = z(x) sejam dadas implicitamente pelo sistema  x^2 + z^2 = 1 y^2 + z^2 = 1 a) Expresse d...

a) Para encontrar dy/dx e dz/dx, podemos utilizar a regra da cadeia. Derivando a primeira equação em relação a x, temos: 2x + 2z dz/dx = 0 dz/dx = -x/z Derivando a segunda equação em relação a x, temos: 2y dy/dx + 2z dz/dx = 0 dy/dx = -y/z Portanto, dy/dx = -y/z e dz/dx = -x/z. b) Substituindo a primeira equação na segunda, temos: y^2 + z^2 = 1 y^2 + (1 - x^2) = 1 y^2 = x^2 Tomando a raiz quadrada em ambos os lados, temos: y = ±x Substituindo y = x na primeira equação, temos: x^2 + z^2 = 1 z^2 = 1 - x^2 Tomando a raiz quadrada em ambos os lados, temos: z = ±sqrt(1 - x^2) Portanto, uma possível par de funções é y = x e z = sqrt(1 - x^2). Outra possível par é y = -x e z = -sqrt(1 - x^2).