32) Calcular ∫ ∫ ∫ T dV , onde T é a região interior ao cilindro x2−x+y2 = 0 e à esfera x2+y2+z2 = 1.

Para calcular essa integral tripla, podemos utilizar as coordenadas cilíndricas. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração para cada variável: - Para z: a esfera tem equação x² + y² + z² = 1, então z varia de -√(1 - x² - y²) a √(1 - x² - y²). - Para r: o cilindro tem equação x² - x + y² = 0, que pode ser reescrita como (x - 1/2)² + y² = 1/4. Isso representa um círculo de raio 1/2, centrado em (1/2, 0). Portanto, r varia de 0 a 1/2. - Para θ: θ varia de 0 a 2π, já que estamos integrando em toda a região. Assim, a integral tripla fica: ∫ de 0 a 2π ∫ de 0 a 1/2 ∫ de -√(1 - x² - y²) a √(1 - x² - y²) dz r dr dθ Podemos integrar em relação a z primeiro: ∫ de 0 a 2π ∫ de 0 a 1/2 2√(1 - x² - y²) r dr dθ Agora, podemos fazer a mudança de variáveis x = r cos(θ) e y = r sen(θ): ∫ de 0 a 2π ∫ de 0 a 1/2 2r√(1 - r²) dr dθ Essa integral pode ser resolvida usando a substituição u = 1 - r², du = -2r dr: ∫ de 0 a 2π ∫ de 1 a 3/4 -√u du dθ Integrando em relação a θ, obtemos: ∫ de 1 a 3/4 2π (-2/3)u^(3/2) du = 4π/9 (1 - (3/4)^(3/2)) Portanto, o valor da integral tripla é 4π/9 (1 - (3/4)^(3/2)).